Problema del 2021, setembre, sèrie 1. Selectivitat Física Catalunya

Un violinista interpreta un solo durant un concert. De cop i volta, quatre violins més l’acompanyen, tocant amb la mateixa intensitat que el primer. a) Quants decibels ha augmentat el nivell d’intensitat del so? b) Ara els cinc violins passen de mezzo piano a forte i mesurem un nivell d’intensitat del so de $76,98$ dB. Suposant que tots els violins toquen amb la mateixa intensitat, quina és la intensitat \( I \) amb la qual toca un sol violí?

$\textbf{Dada:}$ \( I_0 = 10^{-12} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \).

a) Quan s’afegeixen quatre violins més, la intensitat total es multiplica per 5, és a dir, \( I_{\text{total}} = 5I \), on \( I \) és la intensitat d’un sol violí. El nivell d’intensitat sonora es calcula com:

\[L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right).\]

Per a un violí:

\[L_1 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right).\]

Per a cinc violins:

\[L_5 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{5I}{I_0}\right) = 10 \cdot \left[\log_{10}(5) + \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)\right] = 10 \cdot \log_{10}(5) + L_1.\]

L’augment del nivell d’intensitat és:

\[\Delta L = L_5 – L_1 = 10 \cdot \log_{10}(5).\]

Sabem que \( \log_{10}(5) \approx 0,699 \), per tant:

\[\Delta L \approx 10 \cdot 0,699 = 6,99 \, \text{dB}.\]

$\textbf{Resposta}$: L’augment del nivell d’intensitat del so és d’aproximadament \textbf{6,99 dB}.

b) El nivell d’intensitat total per als cinc violins és \( L_5 = 76,98 \, \text{dB} \), amb \( I_{\text{total}} = 5I \). Utilitzem la fórmula:

\[L_5 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{5I}{I_0}\right).\]

Substituïm \( L_5 = 76,98 \) i \( I_0 = 10^{-12} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} \):

\[76,98 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{5I}{10^{-12}}\right).\]

Dividim per 10:

\[7,698 = \log_{10}\left(\frac{5I}{10^{-12}}\right).\]

Apliquem l’invers del logaritme:

\[\frac{5I}{10^{-12}} = 10^{7,698} \approx 10^7 \cdot 10^{0,698} \approx 10^7 \cdot 4,977 = 4,977 \cdot 10^7.\]

Per tant:

\[5I = 4,977 \cdot 10^7 \cdot 10^{-12} = 4,977 \cdot 10^{-5} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2}.\]

\[I = \frac{4,977 \cdot 10^{-5}}{5} \approx 9,954 \cdot 10^{-6} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2}.\]

$\textbf{Resposta}$: La intensitat d’un sol violí és aproximadament:

\[\boxed{9,954 \cdot 10^{-6} \, \text{W} \cdot \text{m}^{-2}}.\]