Problema del 2010, juny, sèrie 4. Selectivitat Física Catalunya

Cadascun dels extrems d’un diapasó presenta un moviment vibratori harmònic amb una freqüència de $1000$ Hz i una amplitud d’$1$ mm. Aquest moviment genera en l’aire una ona harmònica de so de la mateixa freqüència. El moviment dels dos extrems està en fase. a) Calculeu, per a un dels extrems del diapasó, l’elongació i la velocitat del seu moviment vibratori quan faci $3,3 \cdot 10^4$ s que ha començat a vibrar, comptat a partir de la posició que correspon a la màxima amplitud. b) Raoneu si, en l’aire, es produiria el fenomen d’interferència a partir de les ones de so que es generen en els dos extrems del diapasó. Si s’esdevé aquest fenomen, indiqueu en quins punts es produiran els màxims d’interferència.

$\textbf{Dada:}$ $v = 340~\text{m/s}$ (velocitat del so a l’aire).

L’equació del moviment vibratori harmònic és:
$$y = A \sin(\omega t + \varphi).$$
Condicions inicials: a $t = 0$, $y = A$, per tant:
$$A = A \sin(\varphi) \implies \sin(\varphi) = 1 \implies \varphi = \frac{\pi}{2} \, \text{rad}.$$
La freqüència angular és:
$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1000 = 2000\pi \, \text{rad/s}.$$
Amb $A = 1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}$, l’equació de l’elongació és:
$$y = 10^{-3} \sin\left(2000\pi t + \frac{\pi}{2}\right) = 10^{-3} \cos(2000\pi t) \, \text{(en m)}.$$
La velocitat és la derivada de l’elongació:
$$v = \frac{dy}{dt} = -10^{-3} \cdot 2000\pi \sin(2000\pi t) = -2\pi \sin(2000\pi t) \, \text{(en m/s)}.$$
Per a $t_0 = 3,3 \cdot 10^{-4} \, \text{s}$:
$$y(t_0) = 10^{-3} \cos(2000\pi \cdot 3,3 \cdot 10^{-4}) \approx -4,82 \cdot 10^{-4} \, \text{m},$$
$$v(t_0) = -2\pi \sin(2000\pi \cdot 3,3 \cdot 10^{-4}) \approx -5,51 \, \text{m/s}.$$

Sí, es produiran interferències, ja que les dues ones generades pels extrems del diapasó tenen la mateixa amplitud, la mateixa freqüència (1000 Hz) i estan en fase.

Els màxims d’interferència es produeixen quan la diferència de camins és un múltiple de la longitud d’ona:
$$r_2 – r_1 = n\lambda, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$$
La longitud d’ona es calcula com:
$$v = \lambda f \implies \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{1000} = 0,340 \, \text{m}.$$
Per tant, les posicions dels màxims d’interferència són:
$$r_2 – r_1 = 0,340n, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$$

$\textbf{Nota}$: L’equació alternativa $y = A \cos(\omega t + \varphi)$ amb $\varphi = 0 \, \text{rad}$ és equivalent i també vàlida.