Problema del 2010, juny, sèrie 4. Selectivitat Física Catalunya

Observem que dues boies de senyalització en una zona de bany d’una platja, separades una distància de $2$ m, oscil·len de la mateixa manera amb l’onatge de l’aigua del mar. Veiem que la mínima distància en què té lloc aquest fet és, justament, la separació entre les dues boies. Comptem que oscil·len trenta vegades en un minut i observem que pugen fins a una alçada de $20$ cm. a) Determineu la freqüència, la longitud d’ona i la velocitat de les ones del mar. b) Escriviu l’equació que descriu el moviment de les boies en funció del temps, si comencem a comptar el temps quan les boies són a la posició més alta. Escriviu l’equació de la velocitat de les boies en funció del temps.

$\textbf{a)}$ El període \( T \) es calcula a partir de 30 oscil·lacions en 1 minut:

\[T = \frac{1 \, \text{minut}}{30 \, \text{oscil·lacions}} = \frac{60 \, \text{s}}{30} = 2 \, \text{s}\]

La freqüència \( f \) és:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0,5 \, \text{Hz}\]

La longitud d’ona \( \lambda \) és igual a la distància entre les boies:

\[\lambda = 2 \, \text{m}\]

La velocitat de les ones \( v \) es calcula com:

\[v = \lambda \cdot f = 2 \cdot 0,5 = 1 \, \text{m/s}\]

$\textbf{b)}$ L’equació del moviment de les boies és de la forma:

\[y = A \cdot \sin(\omega t + \varphi)\]

La pulsació \( \omega \) es calcula com:

\[\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 0,5 = \pi \, \text{rad/s}\]

Condicions inicials: quan \( t = 0 \), \( y = A \):

\[y = A \cdot \sin(0 + \varphi) \Rightarrow A = A \cdot \sin(\varphi) \Rightarrow \sin(\varphi) = 1 \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}\]

L’equació del moviment, amb \( A = 0,20 \, \text{m} \), és:

\[y = 0,20 \cdot \sin\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right) \, \text{(en metres, si t és en segons)}\]

La velocitat es calcula com la derivada de \( y \) respecte al temps:

\[v = \frac{dy}{dt} = 0,20 \cdot \pi \cdot \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right) \, \text{(en m/s, si t és en segons)}\]

$\textbf{Nota:}$ Si no s’indiquen les unitats en les equacions de \( y \) i \( v \), descompteu 0,1 punts en cada càlcul.

$\textbf{Nota addicional:}$ També s’admet la resolució amb \( y = A \cdot \cos(\omega t + \varphi) \), i s’ha de valorar de manera anàloga.