LEMNISCATA
Matemàtiques
El peralt d’una corba de $30$ m de radi de curvatura s’ha dissenyat de forma que, en el cas ideal en que no hi hagi fregament, un cotxe que es mogui a $40$ km/h no relliscaria. Quant valdria l’angle del peralt ? Suposant que l’angle del peralt és el de l’apartat anterior i el
coeficient de fricció estàtic és $0.3$, quin hauria d’ésser l’interval de velocitats perquè un cotxe que prengui la corba no llisqui ?
Per resoldre aquest problema, primer cal calcular l’angle de peralt ideal perquè un cotxe que es mogui a $40$ km/h ($11.11$ m/s) no rellisqui en una corba de radi $30$ m sense fregament.
En el cas ideal sense fregament, la força centrípeta necessària per mantenir el cotxe en moviment circular és proporcionada per la component horitzontal de la força normal. La relació es pot expressar amb la següent fórmula:
$$\tan(\theta) = \frac{v^2}{r \cdot g}$$
On:
$$\tan(\theta) = \frac{(11.11)^2}{30 \cdot 9.8}$$
Calculant:
$$\tan(\theta) = \frac{123.4321}{294} \approx 0.42$$
Per tant, l’angle de peralt $\theta$ és:
$$\theta = \tan^{-1}(0.42) \approx 22.8^\circ$$
Quan es considera el fregament, hi ha dos components de la força de fregament: una que ajuda a mantenir el cotxe en la corba (component centrípeta) i una altra que s’oposa a la gravetat. Això afecta tant la velocitat mínima com la velocitat màxima per la qual el cotxe no relliscarà.
La fórmula que inclou fregament per la velocitat mínima $v_{min}$ és:
$$v_{min} = \sqrt{\frac{r \cdot g (\tan(\theta) – \mu)}{1 + \mu \cdot \tan(\theta)}}$$
La fórmula que inclou fregament per la velocitat màxima $v_{max}$ és:
$$v_{max} = \sqrt{\frac{r \cdot g (\tan(\theta) + \mu)}{1 – \mu \cdot \tan(\theta)}}$$
Substituint els valors:
$$v_{min} = \sqrt{\frac{30 \cdot 9.8 (0.42 – 0.3)}{1 + 0.3 \cdot 0.42}}$$
$$v_{min} = \sqrt{\frac{294 \cdot 0.12}{1 + 0.126}}$$
$$v_{min} = \sqrt{\frac{35.28}{1.126}}$$
$$v_{min} \approx \sqrt{31.33}$$
$$v_{min} \approx 5.6 \, \text{m/s} \approx 20.2 \, \text{km/h}$$
$$v_{max} = \sqrt{\frac{30 \cdot 9.8 (0.42 + 0.3)}{1 – 0.3 \cdot 0.42}} ]
[ v_{max} = \sqrt{\frac{294 \cdot 0.72}{1 – 0.126}}$$
$$v_{max} = \sqrt{\frac{211.68}{0.874}}$$
$$v_{max} \approx \sqrt{242.16}$$
$$v_{max} \approx 15.56 \, \text{m/s} \approx 56.0 \, \text{km/h}$$