El peralt d’una corba

El peralt d’una corba
12 de juliol de 2024 No hi ha comentaris Física Oscar Alex Fernandez Mora

El peralt d’una corba de $30$ m de radi de curvatura s’ha dissenyat de forma que, en el cas ideal en que no hi hagi fregament, un cotxe que es mogui a $40$ km/h no relliscaria. Quant valdria l’angle del peralt ? Suposant que l’angle del peralt és el de l’apartat anterior i el
coeficient de fricció estàtic és $0.3$, quin hauria d’ésser l’interval de velocitats perquè un cotxe que prengui la corba no llisqui ?

Per resoldre aquest problema, primer cal calcular l’angle de peralt ideal perquè un cotxe que es mogui a $40$ km/h ($11.11$ m/s) no rellisqui en una corba de radi $30$ m sense fregament.

Càlcul de l’angle de peralt ideal ($\theta$)

En el cas ideal sense fregament, la força centrípeta necessària per mantenir el cotxe en moviment circular és proporcionada per la component horitzontal de la força normal. La relació es pot expressar amb la següent fórmula:

$$\tan(\theta) = \frac{v^2}{r \cdot g}$$

On:

  • $v$ és la velocitat del cotxe $11.11$ m/s)
  • $r$ és el radi de la corba $30$ m)
  • $g$ és l’acceleració deguda a la gravetat $9.8$ m/s²)

$$\tan(\theta) = \frac{(11.11)^2}{30 \cdot 9.8}$$

Calculant:

$$\tan(\theta) = \frac{123.4321}{294} \approx 0.42$$

Per tant, l’angle de peralt $\theta$ és:

$$\theta = \tan^{-1}(0.42) \approx 22.8^\circ$$

Interval de velocitats amb fregament ($\mu = 0.3$)

Quan es considera el fregament, hi ha dos components de la força de fregament: una que ajuda a mantenir el cotxe en la corba (component centrípeta) i una altra que s’oposa a la gravetat. Això afecta tant la velocitat mínima com la velocitat màxima per la qual el cotxe no relliscarà.

Velocitat mínima

La fórmula que inclou fregament per la velocitat mínima $v_{min}$ és:

$$v_{min} = \sqrt{\frac{r \cdot g (\tan(\theta) – \mu)}{1 + \mu \cdot \tan(\theta)}}$$

Velocitat màxima

La fórmula que inclou fregament per la velocitat màxima $v_{max}$ és:

$$v_{max} = \sqrt{\frac{r \cdot g (\tan(\theta) + \mu)}{1 – \mu \cdot \tan(\theta)}}$$

Substituint els valors:

  • $r = 30 \, \text{m}$
  • $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$
  • $\theta = 22.8^\circ ) (( \tan(\theta) \approx 0.42$
  • $\mu = 0.3$

Càlcul de la velocitat mínima

$$v_{min} = \sqrt{\frac{30 \cdot 9.8 (0.42 – 0.3)}{1 + 0.3 \cdot 0.42}}$$

$$v_{min} = \sqrt{\frac{294 \cdot 0.12}{1 + 0.126}}$$

$$v_{min} = \sqrt{\frac{35.28}{1.126}}$$

$$v_{min} \approx \sqrt{31.33}$$

$$v_{min} \approx 5.6 \, \text{m/s} \approx 20.2 \, \text{km/h}$$

Càlcul de la velocitat màxima

$$v_{max} = \sqrt{\frac{30 \cdot 9.8 (0.42 + 0.3)}{1 – 0.3 \cdot 0.42}} ]

[ v_{max} = \sqrt{\frac{294 \cdot 0.72}{1 – 0.126}}$$

$$v_{max} = \sqrt{\frac{211.68}{0.874}}$$

$$v_{max} \approx \sqrt{242.16}$$

$$v_{max} \approx 15.56 \, \text{m/s} \approx 56.0 \, \text{km/h}$$

Resultats finals

  1. L’angle de peralt és aproximadament $22.8^\circ$.
  2. L’interval de velocitats perquè el cotxe no llisqui és de 20.2 km/h a 56.0 km/h.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *