Cinemàtica a l’estrella Centauri

L’estrella més propera al Sol és Pròxima Centauri, que es troba a $4.22$ anys llum ($1$ any llum = $9.4608\cdot10^{15}$ m) de la Terra. Un coet que surt de la Terra accelera a un ritme de $0.01g$ ($g = 9.8$
m/s2) fins que assoleix una velocitat de creuer igual a una desena part de la de la LLUM ($c=3\cdot10^8$ m/s). Després, la nau es mou a aquesta velocitat, fins que finalment, quan s’apropa a l’estrella, es desaccelera a un ritme de $0.01g$ situant-se sobre l’estrella a velocitat nul·la. Calculeu la durada del viatge ? No tingueu en compte el moviment relatiu entre l’estrella i el sistema solar.

Per calcular la durada del viatge del coet des de la Terra fins a Pròxima Centauri, hem de tenir en compte les diferents fases del viatge: acceleració, velocitat constant, i desacceleració.

1. Fase d’acceleració: El coet accelera fins a arribar a la velocitat de creuer.
2. Fase de velocitat constant: El coet es mou a la velocitat de creuer.
3. Fase de desacceleració: El coet desaccelera fins a arribar a una velocitat nul·la prop de l’estrella.

1. Fase d’acceleració

La nau accelera a un ritme de $a = 0.01g$.

$$a = 0.01 \times 9.8 \, \text{m/s}^2 = 0.098 \, \text{m/s}^2$$

La velocitat de creuer és una desena part de la velocitat de la llum:

$$v_c = \frac{c}{10} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{10} = 3 \times 10^7 \, \text{m/s}$$

Utilitzem la fórmula de la velocitat en moviment rectilini uniformement accelerat:

$$v_c = a \cdot t_1$$

Per trobar el temps $t_1$ necessari per assolir la velocitat de creuer:

$$t_1 = \frac{v_c}{a} = \frac{3 \times 10^7 \, \text{m/s}}{0.098 \, \text{m/s}^2} \approx 3.06 \times 10^8 \, \text{s}$$

La distància recorreguda durant l’acceleració es pot calcular utilitzant:

$$d_1 = \frac{1}{2} a t_1^2$$

Substituïm $t_1$:

$$d_1 = \frac{1}{2} \times 0.098 \, \text{m/s}^2 \times (3.06 \times 10^8 \, \text{s})^2 \approx 4.59 \times 10^{15} \, \text{m}$$

2. Fase de velocitat constant

La distància total a recórrer és:

$$d_{total} = 4.22 \, \text{anys llum} \times 9.4608 \times 10^{15} \, \text{m/any llum} \approx 3.99 \times 10^{16} \, \text{m}$$

La distància restant a cobrir a velocitat constant després de l’acceleració i abans de la desacceleració és:

$$d_{constant} = d_{total} – 2d_1$$

$$d_{constant} = 3.99 \times 10^{16} \, \text{m} – 2 \times 4.59 \times 10^{15} \, \text{m} = 3.07 \times 10^{16} \, \text{m}$$

El temps necessari per recórrer aquesta distància a velocitat constant és:

$$t_{constant} = \frac{d_{constant}}{v_c}$$

$$t_{constant} = \frac{3.07 \times 10^{16} \, \text{m}}{3 \times 10^7 \, \text{m/s}} \approx 1.02 \times 10^9 \, \text{s}$$

3. Fase de desacceleració

El temps de desacceleració $t_3$ serà igual al temps d’acceleració $t_1$, ja que la desacceleració és igual a l’acceleració però en sentit contrari.

$$t_3 = t_1 = 3.06 \times 10^8 \, \text{s}$$

La durada total del viatge és la suma dels temps de les tres fases:

$$t_{total} = t_1 + t_{constant} + t_3$$

$$t_{total} = 3.06 \times 10^8 \, \text{s} + 1.02 \times 10^9 \, \text{s} + 3.06 \times 10^8 \, \text{s} \approx 1.63 \times 10^9 \, \text{s}$$

Convertim el temps total en anys per obtenir una millor comprensió:

$$1.63 \times 10^9 \, \text{s} \times \frac{1 \, \text{hora}}{3600 \, \text{s}} \times \frac{1 \, \text{dia}}{24 \, \text{hores}} \times \frac{1 \, \text{any}}{365.25 \, \text{dies}} \approx 51.7 \, \text{anys}$$

Així doncs, la durada del viatge serà aproximadament de 51.7 anys.