Determinació del punt de camp gravitatori nul entre la Terra i la Lluna

Hi ha un punt a l’espai entre la Terra i la Lluna en el qual el camp gravitatori és nul. Determina a quina distància de la Terra està aquest punt.

Dades:

• Massa de la Terra: \( M_T = 5,98 \times 10^{24} \, \text{kg} \)

• Massa de la Lluna: \( M_L = 7,35 \times 10^{22} \, \text{kg} \)

• Distància Terra-Lluna: \( d_{TL} = 384000 \, \text{km} \)

• Constant de gravitació universal: \( G = 6,673 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \)

Per trobar el punt on el camp gravitatori és nul, hem de determinar la distància \( x \) des del centre de la Terra on les forces gravitacionals de la Terra i la Lluna sobre una massa de prova \( m \) s’anul·len mútuament. Això implica que:\[\frac{G M_T m}{x^2} = \frac{G M_L m}{(d_{TL} – x)^2}\]Cancel·lem \( G \) i \( m \) d’ambdós costats:\[\frac{M_T}{x^2} = \frac{M_L}{(d_{TL} – x)^2}\]Reorganitzem:\[M_T (d_{TL} – x)^2 = M_L x^2\]Prenem l’arrel quadrada:\[\sqrt{M_T} (d_{TL} – x) = \sqrt{M_L} x\]Aïllem \( x \):\[\sqrt{M_T} d_{TL} = x (\sqrt{M_T} + \sqrt{M_L})\]\[x = \frac{\sqrt{M_T} d_{TL}}{\sqrt{M_T} + \sqrt{M_L}}\]

Càlculs:

1. Convertim la distància a metres: \( d_{TL} = 384000 \, \text{km} = 3,84 \times 10^8 \, \text{m} \).

2. Calculem les arrels quadrades de les masses: \[ \sqrt{M_T} = \sqrt{5,98 \times 10^{24}} \approx 2,444 \times 10^{12} \] \[ \sqrt{M_L} = \sqrt{7,35 \times 10^{22}} \approx 2,711 \times 10^{11} \]

3. Substituïm: \[ \sqrt{M_T} + \sqrt{M_L} \approx 2,444 \times 10^{12} + 2,711 \times 10^{11} \approx 2,715 \times 10^{12} \] \[ \sqrt{M_T} d_{TL} \approx (2,444 \times 10^{12}) \times (3,84 \times 10^8) \approx 9,385 \times 10^{20} \] \[ x \approx \frac{9,385 \times 10^{20}}{2,715 \times 10^{12}} \approx 3,458 \times 10^8 \, \text{m} \]

4. Convertim a quilòmetres: \[ x \approx 3,458 \times 10^8 \, \text{m} = 345800 \, \text{km} \]

Resposta final: El punt on el camp gravitatori és nul es troba a una distància d’aproximadament 345800 km des del centre de la Terra.