Problema de camp i potencial gravitatori

Dos cossos, $1$ i $2$, de masses $2000$ kg i $5000$ kg, respectivament, es troben fixos i situats a una distància de $100$ m l’un de l’altre. El cos $1$ es troba a l’origen de coordenades, punt $(0, 0)$, i el cos $2$ es troba a la seva dreta, punt $(100, 0)$.
a) Dibuixar i trobar el valor del camp gravitatori al punt mitjà C entre ambdós.
b) Trobar el potencial gravitatori en aquest punt C.
c) Trobar el treball necessari per portar una massa de $1$ kg des del punt C fins a una distància de $40$ m a l’esquerra del cos $1$, punt $(-40, 0)$.

a) Camp gravitatori al punt mitjà C:

El punt mitjà C es troba a $x = 50 \, \text{m}$, ja que la distància entre els cossos és $100$ m. Les coordenades de C són $(50, 0)$.

• Camp gravitatori del cos $1$ ($m_1 = 2000 \, \text{kg}$):
  La distància de C al cos $1$ és $r_1 = 50 \, \text{m}$. El camp gravitatori $\vec{g}_1$ es calcula com:

$$g_1 = \frac{G m_1}{r_1^2}$$

La constant gravitacional és $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. Substituïm:

$$g_1 = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 2000}{50^2} = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 2000}{2500} = 5,336 \cdot 10^{-11} \, \text{N/kg}$$

Aquest camp apunta cap al cos $1$ (en direcció negativa de l’eix $x$), per tant:

$$\vec{g}_1 = -5,336 \cdot 10^{-11} \hat{i} \, \text{N/kg}$$

• Camp gravitatori del cos $2$ ($m_2 = 5000 \, \text{kg}$):
  La distància de C al cos 2 és $r_2 = 50 \, \text{m}$. El camp gravitatori $\vec{g}_2$:

$$g_2 = \frac{G m_2}{r_2^2} = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 5000}{50^2} = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 5000}{2500} = 1,334 \cdot 10^{-10} \, \text{N/kg}$$

Aquest camp apunta cap al cos $2$ (en direcció positiva de l’eix $x$), per tant:

$$\vec{g}_2 = 1,334 \cdot 10^{-10} \hat{i} \, \text{N/kg}$$

• Camp gravitatori total a C:
  El camp total és la suma vectorial:

$$\vec{g} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (-5,336 \cdot 10^{-11}) \hat{i} + (1,334 \cdot 10^{-10}) \hat{i} = (1,334 \cdot 10^{-10} – 5,336 \cdot 10^{-11}) \hat{i}$$

$$= (13,34 \cdot 10^{-11} – 5,336 \cdot 10^{-11}) \hat{i} = 8,004 \cdot 10^{-11} \hat{i} \, \text{N/kg}$$

El camp gravitatori a C és:

$$\vec{g} = 8,004 \cdot 10^{-11} \hat{i} \, \text{N/kg}$$

b) Potencial gravitatori al punt C:

El potencial gravitatori $V$ és escalar i es calcula com la suma dels potencials creats per cada massa:

$$V = V_1 + V_2 = -\frac{G m_1}{r_1} – \frac{G m_2}{r_2}$$

• Distàncies: $r_1 = 50 \, \text{m} ), ( r_2 = 50 \, \text{m}$.

Substituïm:

$$V_1 = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 2000}{50} = -2,668 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

$$V_2 = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 5000}{50} = -6,67 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

$$V = V_1 + V_2 = -2,668 \cdot 10^{-9} – 6,67 \cdot 10^{-9} = -9,338 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

Per tant, el potencial gravitatori a C és:

$$V_C = -9,338 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

c) Treball per moure una massa de $1$ kg de C a $(-40, 0)$:

El treball $W$ necessari per moure una massa $m = 1 \, \text{kg}$ entre dos punts en un camp gravitatori conservatiu depèn només del canvi d’energia potencial:

$$W = \Delta U = m (V_{\text{final}} – V_{\text{inicial}})$$

• Potencial a C: Ja hem calculat $V_C = -9,338 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$.
• Potencial al punt $(-40, 0)$:
• Distància al cos $1$: $r_1 = 40 \, \text{m}$.
• Distància al cos $2$: $r_2 = 100 – (-40) = 140 \, \text{m}$.

$$V_1 = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 2000}{40} = -3,335 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

$$V_2 = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 5000}{140} = -2,382 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

$$V_{\text{final}} = V_1 + V_2 = -3,335 \cdot 10^{-9} – 2,382 \cdot 10^{-9} = -5,717 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$$

• Treball:

$$W = m (V_{\text{final}} – V_{\text{inicial}}) = 1 \cdot (-5,717 \cdot 10^{-9} – (-9,338 \cdot 10^{-9}))$$

$$= (-5,717 \cdot 10^{-9}) + 9,338 \cdot 10^{-9} = 3,621 \cdot 10^{-9} \, \text{J}$$

Resposta final:

a) El camp gravitatori a C és $\vec{g} = 8,004 \cdot 10^{-11} \hat{i} \, \text{N/kg}$.
b) El potencial gravitatori a C és $V_C = -9,338 \cdot 10^{-9} \, \text{J/kg}$.
c) El treball necessari és $W = 3,621 \cdot 10^{-9} \, \text{J}$.