Problema de desintegració radioactiva

Una roca conté dos tipus d’àtoms radioactius A (Radi 226) i B (Carboni 14) de període de semidesintegració $t_{1/2}(A) = 1602$ anys i $t_{1/2}(B) = 5760$ anys, respectivament. Quan la roca es forma, el seu contingut en A i en B era pràcticament el mateix, $N_0 = 10^{15}$ nuclis de cada tipus d’àtom. a) Què tipus d’àtom tenia una activitat major en el moment de la seva formació? b) Quina serà la raó entre el nombre d’àtoms A i B tots els existents en la roca $3000$ anys després de la seva formació?

a) Què tipus d’àtom tenia una activitat major en el moment de la seva formació?

$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \implies \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \implies \lambda_0$$

$$A_0(A) = \frac{\ln 2}{(t_{1/2})_A} \cdot N_0 = \frac{\ln 2}{(1602 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600)} \cdot 10^{15} = 1,37 \cdot 10^4 \, \text{Bq}$$

$$A_0(B) = \frac{\ln 2}{(t_{1/2})_B} \cdot N_0 = \frac{\ln 2}{(5760 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600)} \cdot 10^{15} = 3,81 \cdot 10^3 \, \text{Bq}$$

Al formar-se la roca tenia una major activitat l’element $A$.

b) Quina serà la raó entre el nombre d’àtoms $A$ i $B$ tots els existents en la roca $3000$ anys després de la seva formació?

$$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 \cdot e^{-\lambda_A \cdot t}}{N_0 \cdot e^{-\lambda_B \cdot t}} = e^{(\lambda_B – \lambda_A) \cdot t} = e^{\left( \frac{\ln 2}{(t_{1/2})B} – \frac{\ln 2}{(t{1/2})_A} \right) \cdot t} = e^{(-3,12 \cdot 10^{-4}) \cdot 3000} = 0,39$$