Bobina amb resistència òhmica i reactància inductiva

Una bobina té una resistència òhmica de $10$ O i una reactància inductiva de $20$ O. Està connectada a un corrent altern de $314$ rad/s de pulsació i una força electromotriu eficaç de $110$ V. Calculeu: (a) la intensitat del circuit i l’angle de desfasament entre la tensió i la intensitat; (b) el factor de potència; (c) la potència dissipada per efecte Joule, i (d) la potència aparent o total del circuit.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem els conceptes de circuit de corrent altern (AC) amb resistència i inductància.

Dades del problema:

• Resistència òhmica $R = 10\ \Omega$
• Reactància inductiva $X_L = 20\ \Omega$
• Pulsació $\omega = 314$ rad/s
• Força electromotriu eficaç $V_{rms} = 110$ V

(a) Intensitat del circuit i angle de desfasament

1. Impedància del circuit $Z$

La impedància total del circuit és una combinació de la resistència i la reactància inductiva. Es calcula utilitzant la fórmula següent:
$$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$$

Substituint els valors:
$$Z = \sqrt{10^2 + 20^2}$$
$$Z = \sqrt{100 + 400}$$
$$Z = \sqrt{500}$$
$$Z \approx 22.36 \, \Omega$$

2. Intensitat del circuit $I$

La intensitat eficaç del circuit es calcula amb la fórmula:
$$I = \frac{V_{rms}}{Z}$$

Substituint els valors:
$$I = \frac{110 \text{ V}}{22.36 \text{ Ω}}$$
$$I \approx 4.91 \text{ A}$$

3. Angle de desfasament $\phi$

L’angle de desfasament entre la tensió i la intensitat es calcula utilitzant la tangent de l’angle:
$$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$$
$$\tan \phi = \frac{20}{10}$$
$$\tan \phi = 2$$

Així, l’angle de desfasament és:
$$\phi = \arctan(2)$$
$$\phi \approx 63.43^\circ$$

(b) Factor de potència

El factor de potència $PF$ es defineix com el cosinus de l’angle de desfasament:
$$\text{PF} = \cos \phi$$
$$\text{PF} = \cos(63.43^\circ)$$
$$\text{PF} \approx 0.447$$

(c) Potència dissipada per efecte Joule

La potència dissipada per efecte Joule en una resistència es calcula amb:
$$P = I^2 \cdot R$$

Substituint els valors:
$$P = (4.91)^2 \times 10$$
$$P \approx 24.1 \times 10$$
$$P \approx 241 \text{ W}$$

(d) Potència aparent o total del circuit

La potència aparent $S$ es calcula amb:
$$S = V_{rms} \times I$$

Substituint els valors:
$$S = 110 \text{ V} \times 4.91 \text{ A}$
$$S \approx 540.1 \text{ VA}$$

Resum

(a) La intensitat del circuit és aproximadament $4.91$ A i l’angle de desfasament és de $63.43$º.

(b) El factor de potència és aproximadament $0.447$.

(c) La potència dissipada per efecte Joule és aproximadament $241$ W.

(d) La potència aparent o total del circuit és aproximadament $540.1$ VA.