nombre de combinacions en un comitè

En una consultoria hi treballen vuit enginyers matemàtics, cinc dones (l’Anna, la Carme, la Teresa, la Iris i la Laia) i tres homes (l’Ignasi, el Xavier i el Pau). S’ha d’escollir un comitè de cinc persones per elaborar un projecte. Esbrina de quantes maneres es pot fer l’elecció si: a) L’Ignasi i el Pau no poden estar junts perquè hi ha una mica de tensió entre ells. b) Hi participen dos homes i tres dones.

Per resoldre aquests problemes, utilitzarem combinatòria.

Part (a): L’Ignasi i el Pau no poden estar junts perquè hi ha una mica de tensió entre ells.

Primer calculem el nombre total de comitès possibles sense restriccions. Tenim 8 enginyers i en volem escollir 5:

$$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56$$

Ara calculem el nombre de comitès en què Ignasi i Pau estan junts. Si Ignasi i Pau estan junts, ja hem escollit $2$ persones, per tant, ens queden $3$ persones per escollir d’entre els $6$ restants (ja que no podem tornar a escollir Ignasi i Pau):

$$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! (6-3)!} = 20$$

El nombre de comitès en què Ignasi i Pau no estan junts és el total de comitès menys els comitès en què estan junts:

$$56 – 20 = 36$$

Per tant, hi ha $36$ maneres de formar el comitè si Ignasi i Pau no poden estar junts.

Part (b): Hi participen dos homes i tres dones.

Primer calculem el nombre de maneres d’escollir $2$ homes d’entre els $3$ disponibles (Ignasi, Xavier i Pau):

$$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! (3-2)!} = 3$$

Després, calculem el nombre de maneres d’escollir $3$ dones d’entre les $5$ disponibles (Anna, Carme, Teresa, Iris i Laia):

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! (5-3)!} = 10$$

El nombre total de maneres d’escollir $2$ homes i $3$ dones és el producte de les dues combinacions anteriors:

$$3 \times 10 = 30$$

Per tant, hi ha $30$ maneres de formar el comitè amb dos homes i tres dones.