pèndol i conservació de l’energia

Un pèndol de $70$ cm de longitud, de l’extrem del qual penja una massa de $100$ g, pot oscil·lar lliurement al voltant de l’altre extrem. El deixem anar des d’una posició que forma un angle de $70$º amb la vertical. Calculeu: a) La velocitat que portarà el pèndol quan passi per la part més baixa. b) La tensió de la corda quan es troba a la part més baixa del moviment. c) L’energia cinètica i la velocitat del pèndol quan aquest forma un angle de $20$º amb la horitzontal.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem els principis de conservació de l’energia mecànica i de la dinàmica del moviment circular.

Dades del problema:

• Longitud del pèndol $L = 70$ cm $= 0.7$ m
• Massa $m$: $100$ g $= 0.1$ kg
• Angle inicial amb la vertical $\theta_0 = 70$º
• Acceleració deguda a la gravetat $g = 9.8$ m/s$^2$

(a) Velocitat a la part més baixa

Utilitzem la conservació de l’energia mecànica. L’energia potencial inicial a l’alçada màxima es convertirà en energia cinètica a la part més baixa.

Energia potencial inicial $U_i$

$$U_i = mgh$$

On $h$ és l’alçada inicial respecte a la posició més baixa.

L’alçada inicial $h$ es pot trobar utilitzant la diferència de longitud del pèndol:
$$h = L – L \cos \theta_0$$
$$h = L (1 – \cos \theta_0)$$
$$h = 0.7 (1 – \cos 70^\circ)$$
$$h = 0.7 (1 – 0.342)$$
$$h = 0.7 \times 0.658$$
$$h \approx 0.4606 \, \text{m}$$

$$U_i = 0.1 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 0.4606 \, \text{m}$$
$$U_i \approx 0.451 \, \text{J}$$

Energia cinètica a la part més baixa $K_f$

$$K_f = \frac{1}{2} mv^2$$

Com que l’energia mecànica es conserva:
$$U_i = K_f$$
$$0.451 \, \text{J} = \frac{1}{2} \times 0.1 \, \text{kg} \times v^2$$
$$0.451 = 0.05 \times v^2$$
$$v^2 = \frac{0.451}{0.05}$$
$$v^2 = 9.02$$
$$v \approx 3.00 \, \text{m/s}$$

(b) Tensió de la corda a la part més baixa

A la part més baixa del moviment, la tensió de la corda ha de suportar tant la força centrípeta com el pes de la massa.

$$T = mg + \frac{mv^2}{L}$$
$$T = 0.1 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 + \frac{0.1 \, \text{kg} \times (3.00 \, \text{m/s})^2}{0.7 \, \text{m}}$$
$$T = 0.98 \, \text{N} + \frac{0.9}{0.7}$$
$$T = 0.98 \, \text{N} + 1.29 \, \text{N}$$
$$T \approx 2.27 \, \text{N}$$

(c) Energia cinètica i velocitat a un angle de $20$º amb l’horitzontal

Un angle de $20$º amb l’horitzontal és un angle de $70$º amb la vertical.

Energia potencial a $70$º amb la vertical $U$

$$U = mgh$$
On $h$ és l’alçada a $70$º amb la vertical:
$$h = L \cos \theta – L \cos \theta_0$$
On:

• $\theta_0 = 70^\circ$
• $\theta = 20^\circ$ (amb l’horitzontal)

$$h = 0.7 (1 – \cos 20^\circ)$$
$$h = 0.7 (1 – \cos 20^\circ)$$
$$h \approx 0.7 \times (1 – 0.94)$$
$$h \approx 0.042 \, \text{m}$$

Energia cinètica a $70$º $K$

L’energia cinètica en aquest punt es troba restant l’energia potencial de l’energia inicial:
$$K = U_i – U$$
$$K \approx 0.451 \, \text{J} – 0.1 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 0.042 \, \text{m}$$
$$K \approx 0.451 \, \text{J} – 0.041 \, \text{J}$$
$$K \approx 0.41 \, \text{J}$$

Velocitat a $70$º $v$

$$K = \frac{1}{2} mv^2$$
$$0.41 \, \text{J} = \frac{1}{2} \times 0.1 \, \text{kg} \times v^2$$
$$v^2 = \frac{0.41}{0.05}$$
$$v^2 \approx 8.2$$
$$v \approx 2.86 \, \text{m/s}$$

Resum

(a) La velocitat a la part més baixa és aproximadament $3.00$ m/s.

(b) La tensió de la corda a la part més baixa és aproximadament $2.27$ N.

(c) L’energia cinètica quan el pèndol forma un angle de $20$º amb l’horitzontal és aproximadament $0.41$ J i la velocitat és aproximadament $2.86$ m/s.