Proveta de secció quadrangular

Una proveta de secció transversal quadrada de $2,5$ cm de costat i $25$ cm de longitud es deforma elàsticament quan és sotmesa a forces de tracció de fins a $12.000$ N. Si s’augmenta la força, sobre la proveta comencen a aparèixer deformacions plàstiques fins a que s’assoleix una força de $16.000$ N, amb què la proveta es trenca. El mòdul elàstic del material és $E=1\cdot10^{-6}$ N/cm$^2$. Calcula: a) La tensió límit elàstica b) La tensió màxima de treball amb un coeficient de seguretat sobre trencament $= 2$ c) L’allargament quan s’arriba al límit elàstic d) L’allargament quan s’aplica una força de $5.000$ N Per a resoldre aquest problema, utilitzem les següents fórmules de resistència de materials:

1. Tensió $\sigma$:
   $$\sigma = \frac{F}{A}$$
   on:

• $F$ és la força aplicada.
• $A$ és l’àrea de la secció transversal.

1. Allargament $\Delta L$ utilitzant la Llei de Hooke:
   $$\Delta L = \frac{\sigma \cdot L}{E}$$
   on:

• $L$ és la longitud original.
• $E$ és el mòdul elàstic (mòdul de Young).

Anem a resoldre cada apartat:

a) Tensió límit elàstica

El límit elàstic s’assoleix amb una força de $F = 12.000 \, \text{N}$. La tensió és:

$$\sigma_{\text{elàstica}} = \frac{F}{A}$$

L’àrea de la secció transversal quadrada és:

$$A = (2,5 \, \text{cm})^2 = 6,25 \, \text{cm}^2$$

Per tant, la tensió límit elàstica és:

$$\sigma_{\text{elàstica}} = \frac{12.000 \, \text{N}}{6,25 \, \text{cm}^2} = 1.920 \, \text{N/cm}^2$$

b) Tensió màxima de treball amb un coeficient de seguretat sobre trencament $= 2$

La tensió de trencament es produeix amb una força de $F = 16.000 \, \text{N}$, i s’ha d’aplicar un coeficient de seguretat de $2$. La tensió de trencament és:

$$\sigma_{\text{trencament}} = \frac{16.000 \, \text{N}}{6,25 \, \text{cm}^2} = 2.560 \, \text{N/cm}^2$$

Amb un coeficient de seguretat de $2$, la tensió màxima de treball és:

$$\sigma_{\text{treball}} = \frac{\sigma_{\text{trencament}}}{2} = \frac{2.560 \, \text{N/cm}^2}{2} = 1.280 \, \text{N/cm}^2$$

c) Allargament quan s’assoleix el límit elàstic

L’allargament es calcula utilitzant la Llei de Hooke:

$$\Delta L = \frac{\sigma_{\text{elàstica}} \cdot L}{E}$$

On:

• $\sigma_{\text{elàstica}} = 1.920 \, \text{N/cm}^2$
• $L = 25 \, \text{cm}$
• $E = 1 \times 10^5 \, \text{N/cm}^2$

Substituint:

$$\Delta L = \frac{1.920 \, \text{N/cm}^2 \cdot 25 \, \text{cm}}{1 \times 10^5 \, \text{N/cm}^2} = 0,048 \, \text{cm}$$

d) Allargament quan s’aplica una força de $5.000$ N

Primer calculem la tensió corresponent a una força de $F = 5.000 \, \text{N}$:

$$\sigma = \frac{5.000 \, \text{N}}{6,25 \, \text{cm}^2} = 800 \, \text{N/cm}^2$$

Ara, calculem l’allargament:

$$\Delta L = \frac{800 \, \text{N/cm}^2 \cdot 25 \, \text{cm}}{1 \times 10^5 \, \text{N/cm}^2} = 0,02 \, \text{cm}$$

Resum de resultats:

• a) Tensió límit elàstica: $\sigma_{\text{elàstica}} = 1.920 \, \text{N/cm}^2$
• b) Tensió màxima de treball: $\sigma_{\text{treball}} = 1.280 \, \text{N/cm}^2$
• c) Allargament en el límit elàstic: $\Delta L = 0,048 \, \text{cm}$
• d) Allargament amb $F = 5.000 \, \text{N}$: $\Delta L = 0,02 \, \text{cm}$