Derivada direccional del camp escalar

Derivada direccional del camp escalar
13 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Càlcul, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Calcular la derivada direccional del camp escalar $u = \arctan(xy)$ al punt $M_{0}(1, 1)$ de la paràbola $y = x^2$ a la direcció aquesta corba (a la direcció de creixement de l’abscisa).

Per calcular la derivada direccional del camp escalar \( u = \arctan(xy) \) en el punt \( M_0(1, 1) \) sobre la corba \( y = x^2 \) en la direcció de la corba (en la direcció de creixement de l’abscissa), seguim aquests passos:

1. Derivada direccional general. La derivada direccional d’una funció escalar \( u(x, y) \) en la direcció d’un vector unitari \( \mathbf{v} = (v_x, v_y) \) es defineix com:\[D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v}\]on \( \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \) és el gradient d’ \( u \).

2. Gradient d’ \( u = \arctan(xy) \). Primer, calculem les derivades parcials d’ \( u \) respecte de \( x \) i \( y \):\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + (xy)^2} \cdot y\]\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 + (xy)^2} \cdot x\]Per tant, el gradient d’ \( u \) és:\[\nabla u = \left( \frac{y}{1 + (xy)^2}, \frac{x}{1 + (xy)^2} \right)\]

3. Vector tangent a la corba \( y = x^2 \). Per trobar la direcció de la corba en el punt \( M_0(1, 1) \), calculem el vector tangent a la corba \( y = x^2 \) en aquest punt.La derivada de \( y = x^2 \) respecte de \( x \) és:\[\frac{dy}{dx} = 2x\]En el punt \( M_0(1, 1) \), això ens dóna:\[\frac{dy}{dx} \bigg|_{(1, 1)} = 2 \cdot 1 = 2\]Per tant, el vector tangent en aquest punt és \( \mathbf{t} = (1, 2) \).Ara normalitzem aquest vector per obtenir un vector unitari en la direcció de la corba:\[|\mathbf{t}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\]El vector unitari és:\[\mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)\]

4. Derivada direccional. Ara, calculem la derivada direccional utilitzant \( \nabla u \) i el vector unitari \( \mathbf{v} \).En el punt \( M_0(1, 1) \), tenim:\[u = \arctan(1 \cdot 1) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\]Avaluem el gradient en \( M_0(1, 1) \):\[\nabla u \bigg|_{(1, 1)} = \left( \frac{1}{1 + 1^2}, \frac{1}{1 + 1^2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)\]Finalment, calculem el producte escalar entre el gradient i el vector unitari:\[D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)\]\[D_{\mathbf{v}} u = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}\]Per tant, la derivada direccional del camp escalar \( u = \arctan(xy) \) en el punt \( M_0(1, 1) \) en la direcció de la corba \( y = x^2 \) és:\[D_{\mathbf{v}} u = \frac{3}{2\sqrt{5}}\]

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *