LEMNISCATA
Matemàtiques
Calcular la derivada direccional del camp escalar $u = \arctan(xy)$ al punt $M_{0}(1, 1)$ de la paràbola $y = x^2$ a la direcció aquesta corba (a la direcció de creixement de l’abscisa).
Per calcular la derivada direccional del camp escalar \( u = \arctan(xy) \) en el punt \( M_0(1, 1) \) sobre la corba \( y = x^2 \) en la direcció de la corba (en la direcció de creixement de l’abscissa), seguim aquests passos:
1. Derivada direccional general. La derivada direccional d’una funció escalar \( u(x, y) \) en la direcció d’un vector unitari \( \mathbf{v} = (v_x, v_y) \) es defineix com:\[D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v}\]on \( \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) \) és el gradient d’ \( u \).
2. Gradient d’ \( u = \arctan(xy) \). Primer, calculem les derivades parcials d’ \( u \) respecte de \( x \) i \( y \):\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + (xy)^2} \cdot y\]\[\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 + (xy)^2} \cdot x\]Per tant, el gradient d’ \( u \) és:\[\nabla u = \left( \frac{y}{1 + (xy)^2}, \frac{x}{1 + (xy)^2} \right)\]
3. Vector tangent a la corba \( y = x^2 \). Per trobar la direcció de la corba en el punt \( M_0(1, 1) \), calculem el vector tangent a la corba \( y = x^2 \) en aquest punt.La derivada de \( y = x^2 \) respecte de \( x \) és:\[\frac{dy}{dx} = 2x\]En el punt \( M_0(1, 1) \), això ens dóna:\[\frac{dy}{dx} \bigg|_{(1, 1)} = 2 \cdot 1 = 2\]Per tant, el vector tangent en aquest punt és \( \mathbf{t} = (1, 2) \).Ara normalitzem aquest vector per obtenir un vector unitari en la direcció de la corba:\[|\mathbf{t}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\]El vector unitari és:\[\mathbf{v} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)\]
4. Derivada direccional. Ara, calculem la derivada direccional utilitzant \( \nabla u \) i el vector unitari \( \mathbf{v} \).En el punt \( M_0(1, 1) \), tenim:\[u = \arctan(1 \cdot 1) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\]Avaluem el gradient en \( M_0(1, 1) \):\[\nabla u \bigg|_{(1, 1)} = \left( \frac{1}{1 + 1^2}, \frac{1}{1 + 1^2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)\]Finalment, calculem el producte escalar entre el gradient i el vector unitari:\[D_{\mathbf{v}} u = \nabla u \cdot \mathbf{v} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)\]\[D_{\mathbf{v}} u = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}} + \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}\]Per tant, la derivada direccional del camp escalar \( u = \arctan(xy) \) en el punt \( M_0(1, 1) \) en la direcció de la corba \( y = x^2 \) és:\[D_{\mathbf{v}} u = \frac{3}{2\sqrt{5}}\]