Problema oscil·lador harmònic

Una partícula fa un moviment harmònic simple sobre una línia recta i té velocitats de $9$ cm/s i $2$ cm/s quan es troba a $4$ cm i $6$ cm, respectivament, de la posició d’equilibri. Calculeu l’amplitud, el període, la freqüència angular i l’acceleració màxima del moviment.

En un moviment harmònic simple (MHS), la posició de la partícula respecte a la seva posició d’equilibri en qualsevol moment $t$ es pot expressar com:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$$

On:

• $A$ és l’amplitud del moviment (la màxima desviació respecte a la posició d’equilibri),
• $\omega$ és la freqüència angular,
• $\varphi$ és la fase inicial,
• $x(t)$ és la posició en un instant $t$.

També sabem que la velocitat en un MHS ve donada per:

$$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi)$$

Dades del problema:

• Quan $x = 4 \, \text{cm}$, $v = 9 \, \text{cm/s}$,
• Quan $x = 6 \, \text{cm}$, $v = 2 \, \text{cm/s}$.

La relació entre la velocitat i la posició en el MHS es pot expressar com:

$$v^2 = \omega^2 (A^2 – x^2)$$

On $v$ és la velocitat i $x$ la posició en aquest instant.

Pas 1: Equacions per a cada posició

• Per $x = 4 \, \text{cm}$ i $v = 9 \, \text{cm/s}$:

$$9^2 = \omega^2 (A^2 – 4^2)$$
$$81 = \omega^2 (A^2 – 16)$$

• Per $x = 6 \, \text{cm}$ i $v = 2 \, \text{cm/s}$:

$$2^2 = \omega^2 (A^2 – 6^2)$$
$$4 = \omega^2 (A^2 – 36)$$

Pas 2: Sistema d’equacions

Ara tenim el següent sistema d’equacions:

$$81 = \omega^2 (A^2 – 16) \quad \text{(1)}$$
$$4 = \omega^2 (A^2 – 36) \quad \text{(2)}$$

Restant les dues equacions:

$$81 – 4 = \omega^2 \left[ (A^2 – 16) – (A^2 – 36) \right]$$
$$77 = \omega^2 (36 – 16)$$
$$77 = \omega^2 \cdot 20$$
$$\omega^2 = \frac{77}{20}$$
$$\omega^2 = 3.85 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{3.85} \approx 1.96 \, \text{rad/s}$$

Pas 3: Amplitud $A$

Substituïm $\omega^2 = 3.85$ en una de les equacions, per exemple en la (2):

$$4 = 3.85 (A^2 – 36)$$
$$A^2 – 36 = \frac{4}{3.85}$$
$$A^2 – 36 \approx 1.04$$
$$A^2 \approx 37.04 \quad \Rightarrow \quad A \approx \sqrt{37.04} \approx 6.08 \, \text{cm}$$

Pas 4: Període $T$ i freqüència angular $\omega$

La freqüència angular $\omega$ està relacionada amb el període $T$ per la fórmula:

$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$

Així que:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1.96} \approx 3.20 \, \text{s}$$

Pas 5: Acceleració màxima

L’acceleració en un MHS es calcula com:

$$a(t) = -\omega^2 x(t)$$

L’acceleració màxima ocorre quan $x = A$, per tant:

$$a_{\text{màx}} = \omega^2 A = 3.85 \times 6.08 \approx 23.4 \, \text{cm/s}^2$$

Resum dels resultats:

• Amplitud: $A \approx 6.08 \, \text{cm}$,
• Freqüència angular: $\omega \approx 1.96 \, \text{rad/s}$,
• Període: $T \approx 3.20 \, \text{s}$,
• Acceleració màxima: $a_{\text{màx}} \approx 23.4 \, \text{cm/s}^2$.