Problema sobre duresa Brinell

En un assaig de duresa Brinell s’aplica una càrrega de $3000$ Kp al penetrador, el diàmetre és de $10$ mm. Si el diàmetre de la petjada és de $5$ mm, determina:
a) Duresa del material.
b) S’obtindria el mateix valor de duresa si la càrrega fos de $750$ Kp i el diàmetre de la bola fos de $750$ Kp?

L’assaig de duresa Brinell es basa en la fórmula per calcular la duresa Brinell $HB$:

$$HB = \frac{2P}{\pi D \left(D – \sqrt{D^2 – d^2}\right)}$$

On:

• $P$ és la càrrega aplicada en kilopondis (Kp),
• $D$ és el diàmetre del penetrador (en mm),
• $d$ és el diàmetre de la marca (en mm),
• $HB$ és la duresa Brinell.

Dades proporcionades:

• Càrrega aplicada $P$: $3000$ Kp,
• Diàmetre del penetrador $D$: $10$ mm,
• Diàmetre de la marca $d$: $5$ mm.

a) Càlcul de la duresa Brinell:

Utilitzem la fórmula anterior amb els valors proporcionats:

$$HB = \frac{2 \cdot 3000}{\pi \cdot 10 \left(10 – \sqrt{10^2 – 5^2}\right)}$$

Primer calculem els termes dins de l’arrel:

$$\sqrt{10^2 – 5^2} = \sqrt{100 – 25} = \sqrt{75} \approx 8,66$$

Substituint a la fórmula:

$$HB = \frac{6000}{\pi \cdot 10 \left(10 – 8,66\right)} = \frac{6000}{\pi \cdot 10 \cdot 1,34} \approx \frac{6000}{42,09} \approx 142,55$$

Per tant, la duresa Brinell ($HB$) és $142,55$.

b) Es podria obtenir el mateix valor de duresa si la càrrega fos de $750$ Kp i el diàmetre de la bola fos de $5$ mm?

La formulació d’aquesta pregunta sembla tenir un error, ja que un penetrador amb un diàmetre de $750$ Kp no té sentit. Sembla que vol dir “si la càrrega fos de $750$ Kp i el diàmetre de la bola fos de $5$ mm“.

Anem a comparar els resultats considerant:

• Càrrega $P$: $750$ Kp,
• Diàmetre del penetrador $D$: $5$ mm,
• Diàmetre de la marca $d$: (suposem una marca de $2.5$ mm, que és habitual en aquests casos).

Tornem a utilitzar la fórmula de la duresa Brinell:

$$HB = \frac{2 \cdot 750}{\pi \cdot 5 \left(5 – \sqrt{5^2 – 2.5^2}\right)}$$

Calculem els termes dins de l’arrel:

$$\sqrt{5^2 – 2.5^2} = \sqrt{25 – 6.25} = \sqrt{18.75} \approx 4.33$$

Substituïm a la fórmula:

$$HB = \frac{1500}{\pi \cdot 5 \left(5 – 4.33\right)} = \frac{1500}{\pi \cdot 5 \cdot 0.67} \approx \frac{1500}{10.51} \approx 142,74$$

Conclusió:

El valor de la duresa Brinell obtingut amb la nova càrrega i diàmetre és molt proper al calculat en el cas original (142,55 enfront de 142,74). Això indica que sí s’obtindria un valor de duresa similar si es canvien la càrrega i el diàmetre del penetrador, sempre que el diàmetre de la marca es mantingui en proporcions comparables.