LEMNISCATA
Matemàtiques
Un cos de $250$ kg triga $5$ s a pujar per un pendent que forma un angle de $4$º amb l’horitzontal. Parteix del repòs fins a assolir una velocitat de $20$ m/s. Determina la força que hi ha actuat i la potència desenvolupada per fer pujar el cos si el coeficient de fricció entre el cos i el pendent és de $0,15$
Si considerem que el cos es desplaça amb Moviment Rectilini Uniformement Acelerat (MRUA), podem simplificar el càlcul de la potència desenvolupada. La potència es calcula a partir de la força resultant i la velocitat mitjana del cos en el moment en què arriba a la velocitat final.
Com ja hem determinat, la força total que actua sobre el cos inclou:
$$F_{\text{pendent}} = mg \sin(\theta) = 250 \times 9,81 \times \sin(4^\circ) \approx 170,7 \, \text{N}$$
$$F_{\text{normal}} = mg \cos(\theta) = 250 \times 9,81 \times \cos(4^\circ) \approx 2444,6 \, \text{N}$$
$$F_{\text{fricció}} = \mu F_{\text{normal}} = 0,15 \times 2444,6 \approx 366,69 \, \text{N}$$
La força per aconseguir l’acceleració és:
$$a = \frac{v_f – v_i}{t} = \frac{20 – 0}{5} = 4 \, \text{m/s}^2$$
$$F_{\text{accel}} = ma = 250 \times 4 = 1000 \, \text{N}$$
La força total necessària és:
$$F_{\text{total}} = F_{\text{pendent}} + F_{\text{fricció}} + F_{\text{accel}}$$
$$F_{\text{total}} = 170,7 + 366,69 + 1000 = 1537,39 \, \text{N}$$
Per calcular la potència desenvolupada, utilitzarem la fórmula de la potència en funció de la força i la velocitat. La velocitat final del cos és de $20$ m/s.
La velocitat mitjana $v_m$ durant el moviment és:
$$v_m = \frac{v_i + v_f}{2} = \frac{0 + 20}{2} = 10 \, \text{m/s}$$
La potència $P$ desenvolupada és:
$$P = F_{\text{total}} \times v_m$$
$$P = 1537,39 \times 10 \approx 15373,9 \, \text{W} \approx 15,37 \, \text{kW}$$