Problema Juny de 2000 – Sèrie 1 – Qüestió 4

El circ és a la ciutat i s’ha d’instal·lar. L’especialista a muntar-lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d’acer que necessiten. El més espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l’extrem del pal principal fins a un punt determinat del terra amb el qual forma un angle de 60°, calen dos metres més de cable que si forma amb el terra un angle de 70°. En total han de posar sis cables tensats formant amb el terra un angle de 60°. Quants metres de cable necessiten?

Per calcular la longitud del cable farem servir el següent esquema. y representa l’altura del pal principal, $x$ la longitud del cable quan l’angle és de $60$°, i $x+2$ quan és de $70º$

$$\displaystyle\left\lbrace\begin{array}{lll} \sin{70°}=\frac{y}{x}&\Rightarrow&y=x\sin{70°} \\ \sin{60°}=\frac{y}{x+2}&\Rightarrow&y=(x+2)\sin{60°} \end{array}\right\rbrace\quad\Rightarrow$$

$$x\sin{70°} = (x+2)\sin{60°} \quad\Rightarrow\quad x=\displaystyle\frac{2\sin{60°}}{\sin{70°}-\sin{60°}}$$

Això que hem trobat és la longitud d’un dels cables. Com què l’enunciat diu que són sis cables, la longitud total serà:

$$L = 6x = \displaystyle\frac{12\sin{60°}}{\sin{70°}-\sin{60°}} \approx 141,07\ m$$