Problema de mecànica clàssica. Velocitat d’una partícula

En una sèrie d’experiments es troba que la velocitat d’una partícula varia amb la distància segons: \begin{equation} v = v_0 – kx \end{equation} Troba la força a la qual està sotmesa la partícula en funció de \( v \), \( F(v) \); de \( x \), \( F(x) \) i de \( t \), \( F(t) \).

És un problema d’una dimensió (1D): \begin{equation} F(v) = m \frac{dv}{dt} \end{equation} on \begin{equation} v(x) = v_0 – kx \end{equation} Per tant, diferenciant respecte al temps obtenim: \begin{equation} \frac{dv}{dt} = -k \end{equation} Substituint a l’equació: \begin{equation} F(v) = -mk (v_0 – kx) \end{equation} Per trobar \( F(t) \), tornem a l’equació del moviment: \begin{equation} m \frac{dv}{dt} = -mkv \end{equation} Integrant a banda i banda: \begin{equation} \int_{v_0}^{v} \frac{dv}{dt} = -k \int_{0}^{t} dt \end{equation}

\begin{equation} \ln \frac{v}{v_0} = -kt \end{equation} \begin{equation} v = v_0 e^{-kt} \end{equation} Substituint \( v \) a \( F(v) \), n’obtenim: \begin{equation} F(t) = -mkv = -mk v_0 e^{-kt} \end{equation} Es pot observar que l’única equació que només depèn de paràmetres físics és \( F(v) \). Les altres dues, \( F(x) \) i \( F(t) \), depenen de les condicions inicials. Podem concloure, doncs, que \( v \) és l’únic paràmetre físic i que la força només depèn de \( v \). \( F(x) \) i \( F(t) \) són només una nomenclatura que ens indica respecte a què expressem la força \( F \), però en cap cas això implica una dependència real entre aquestes variables.