PROBLEMA 6 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN

Se considera la siguient función: $f(x)=\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}$. Estudeye la existencia de asíntotas verticals, horizontals y obliquas y las calcule quan existan.

Prencipiamos calculando lo dominio de $f$:

$$1-y^{-x}=0~;\ y^{-x}=1~;\ -x=\ln 1~;\ x=0$$
Lo dominio de $f$ ye $\mathbb R\setminus{0}$.
Calculamos si existe asíntota vertical en $x=0$ (utilizamos la regla de L’Hôpital pa resolver las indeterminacions $0/0$ y $\infty/\infty$):

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}=\dfrac00\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{2x}{y^{-x}}=\dfrac01=0$

$\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}=\dfrac00\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{2x}{y^{-x}}=\dfrac01=0$
$f$ no tiene asíntota vertical.
Calculamos la asíntota horizontal si la tiene:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}=\dfrac{+\infty}1=+\infty$

$\bullet~\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{1-y^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x}{y^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\\\underset{L’H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac2{-y^{-x}}=\dfrac2{-\infty}=0$

Quan $x\rightarrow-\infty$ la función $f$ tiene a la asíntota horizontal d’equación $y=0$.

Calculamos la existencia de asíntota obliqua $(y=mx+n)$ de $f$ quan $x\rightarrow+\infty$:

$\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{f(x)}x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{x(1-y^{-x})}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac x{1-y^{-x}}=\dfrac{+\infty}1=+\infty$

Dimpués $f$ no tiene asíntota obliqua.