PROBLEMA 7 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN

Se considera la siguient función $f(x)=\ln(2x+1)$.

a) Estudeye lo suyo dominio, asinas como los suyos intervalos de creiximiento y decreiximiento.
b) Trobe la equación d’a dreita tangente a f en o punto de abscisa $x=\frac{1}{2}$.

a) Lo dominio de $f$ ye lo conchunto de totz los numeros reals tals que:

$$2x+1>0~;\\2x>-1~;\\x>\dfrac{-1}2$$
Ye decir, $\text{Dom }(f)=(\frac{-1}2,+\infty)$.
Estudiamos la monotonía de $f$. Prencipiamos calculando los suyos puntos criticos:

$$f'(x)=\dfrac2{2x+1}=0~;\\ 2=0!!!$$
$f$ no tiene puntos criticos, dimpués, tenendo en cuenta solo lo dominio, estudiamos la monotonía en a siguient tabla:

$$\begin{array}{|c|c|}\hline x&(\frac{-1}2,+\infty)\\ \hline\mbox{Signo }f'(x)&+\\ \hline \mbox{Monotonía }f(x)&\mbox{Creixe}\\ \hline\end{array}$$
$f$ ye creixent en tot lo suyo dominio.

La equación d’a dreita tangente a la función f en o punto de abscisa $x=x_0$ ye:

$$\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}$$
Pa $x_0=\frac{1}{2} tenemos:

$$\bullet~f(\frac12)=\ln(2\cdot\frac12+1)=\ln2\\bullet~f'(\frac12)=\dfrac2{2\cdot\frac12+1}=\dfrac22=1$$
La equación d’a dreita tangente resulta:

$$y=1(x-\frac12)+\ln2~;\ \boxed{y=x+\left(\ln2-\frac12\right)}$$