Níquel i estructura FCC

El níquel cristal·litza en la xarxa cúbica centrada en les cares (FCC), té un radi atòmic mitjà de 0,124 nm i una massa atòmica de 58,69 g/mol. Determini: a) L’índex de coordinació i el nombre d’àtoms de cada cel·la. b) El volum de la cel·la unitària. c) El volum que ocupen els àtoms de la cel·la unitària i el factor d’empaquetament. d) La densitat teòrica del níquel, en g/cm³.

Nota: Considereu el nombre d’Avogadro com 6,023·10²³ àtoms/mol.

a) L’índex de coordinació per a la xarxa FCC és $IC = 12$.
El nombre d’àtoms per cel·la és igual a 4: un àtom a cada vèrtex del cub (compartit cadascun per vuit cel·les unitàries) i $6$ a les cares del cub (compartit cadascun per dues cel·les). En total hi haurà $n = 8 \cdot (1/8) + 6 \cdot (1/2) = 4$ àtoms.

b) Com que és una xarxa cúbica, $V = a^3$, on $a$ és la constant reticular (longitud de l’aresta del cub).
En la xarxa FCC, els àtoms estan en contacte directe en les diagonals de les cares, per tant, $a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$; i en el cas del níquel, $a = \frac{4 \cdot (0,124 \, \text{nm})}{\sqrt{2}} = 0,351 \, \text{nm}$.
Llavors, el volum de la cel·la unitària serà $V_\text{cel·la} = (0,351 \, \text{nm})^3 = 0,043 \, \text{nm}^3$.

c) Com que hi ha quatre àtoms en total a la cel·la unitat, el volum ocupat pels àtoms seria:
$V_\text{àtoms} = 4 \cdot \left[\frac{4}{3} \pi r^3\right]$. Com que $r = 0,124 \, \text{nm}$, llavors $V_\text{àtoms} = 31,95 \cdot 10^{-3} \, \text{nm}^3$.
El factor d’empaquetament és la fracció de volum de la cel·la unitària ocupada per àtoms:
$f = \frac{V_\text{àtoms}}{V_\text{cel·la}} = \frac{V_\text{àtoms}}{a^3} = \frac{31,95 \cdot 10^{-3}}{(0,351)^3} = 0,74$.

d) La densitat s’obté com el quocient entre la massa i el volum. Si es considera el volum de la cel·la unitària i la massa dels quatre àtoms de níquel corresponents a aquesta cel·la:
$\rho = \frac{m_\text{àtoms}}{V_\text{cel·la}} = \frac{[4 \, \text{àtoms} \cdot \frac{58,69 \, \text{g/mol}}{6,023 \cdot 10^{23} \, \text{àtoms/mol}}]}{(0,351 \cdot 10^{-7} \, \text{cm})^3}$
$\rho = 9,01 \, \text{g/cm}^3$