Determinació de la força magnètica

Determinem la força magnètica que actua sobre una partícula de -5 nanocoulombs al desplaçar-se a 2·10⁴ m/s al llarg de l’eix $Z$ en una regió on existeix un camp $\vec{B} = (2\hat{\vec{i}} – \hat{\vec{j}} + 5\hat{\vec{k}})\cdot 10^{-3}$ T.

Les dades de l’exercici són:

• $q = -5 \cdot 10^{-9}$ C
• $\vec{v} = 2 \cdot 10^4 \, \hat{\vec{k}} \, \text{m/s}$
• $\vec{B} = (2\hat{\vec{i}} – \hat{\vec{j}} + 5\hat{\vec{k}})\cdot 10^{-3} \, \text{T}$

Calculem ara la força magnètica utilitzant la llei de Lorentz, per la qual cal calcular el producte vectorial $\vec{v} \times \vec{B}$. Aquest càlcul es realitza considerant els components del camp magnètic als tres eixos de coordenades:

$$\vec{v} \times \vec{B} =\begin{vmatrix}\hat{\vec{i}} & \hat{\vec{j}} & \hat{\vec{k}} \\ 0 & 0 & 2 \cdot 10^4 \\ 2 & -1 & 5\end{vmatrix} \cdot 10^{-3} \, \text{T} =$$ $$= (0 \cdot (-1) – 0 \cdot 5)\hat{\vec{i}} – (0 \cdot 2 – (2 \cdot 10^4) \cdot 2)\hat{\vec{j}} + (0 \cdot (-1) – 0 \cdot 2)\hat{\vec{k}}= (0 + 4 \cdot 10^4)\hat{\vec{j}}= 4 \cdot 10^4 \, \hat{\vec{j}} \, \text{m/s} \cdot \text{T}$$

La força magnètica es determina com:

\[\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B}) = (-5 \cdot 10^{-9}) \cdot (4 \cdot 10^4 \, \hat{\vec{j}})= -2 \cdot 10^{-4} \, \hat{\vec{j}} \, \text{N}\]