Determinació de la força magnètica

Determinem la força magnètica que actua sobre una partícula de $-5$ nanocoulombs al desplaçar-se a $2\cdot10^4$ m/s al llarg de l’eix $Z$ en una regió on existeix un camp $\vec{B} = (2\hat{\vec{i}} – \hat{\vec{j}} + 5\hat{\vec{k}})\cdot 10^{-3}$ T.

Les dades de l’exercici són:

• $q = -5 \cdot 10^{-9}$ C
• $\vec{v} = 2 \cdot 10^4 \, \hat{\vec{k}} \, \text{m/s}$
• $\vec{B} = (2\hat{\vec{i}} – \hat{\vec{j}} + 5\hat{\vec{k}})\cdot 10^{-3} \, \text{T}$

Calculem ara la força magnètica utilitzant la llei de Lorentz, per la qual cal calcular el producte vectorial $\vec{v} \times \vec{B}$. Aquest càlcul es realitza considerant els components del camp magnètic als tres eixos de coordenades:

$$\vec v \times \vec B =
\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
0 & 0 & 2\cdot10^4 \\
2\cdot10^{-3} & -10^{-3} & 5\cdot10^{-3}
\end{vmatrix}$$

Desenvolupant el determinant:

$$\vec v \times \vec B =
\hat i(0\cdot5\cdot10^{-3}-2\cdot10^4(-10^{-3}))
-\hat j(0\cdot5\cdot10^{-3}-2\cdot10^4(2\cdot10^{-3}))
+\hat k(0(-10^{-3})-0(2\cdot10^{-3}))$$

Simplificant:

$$\vec v \times \vec B =
\hat i(20)-\hat j(-40)+\hat k(0)$$

$$\vec v \times \vec B = 20\hat i + 40\hat j$$

Ara multipliquem per la càrrega:

$$\vec F=q(\vec v\times \vec B)$$

$$\vec F=(-5\cdot10^{-9})(20\hat i+40\hat j)$$

$$\vec F=(-1\cdot10^{-7}\hat i-2\cdot10^{-7}\hat j),\text{N}$$

$$\boxed{\vec F=(-1\cdot10^{-7}\hat i-2\cdot10^{-7}\hat j)\ \text{N}}$$