Càlcul de la velocitat d’una partícula sota l’atracció gravitatòria de dues masses

Dues masses iguals $M_1 = M_2 = 300 \, \text{kg}$, concentrades en dos punts A i B separats $0,16$ m, exerceixen força sobre una partícula de massa $m = 1 \, \text{kg}$ situada en un punt $P$, que es troba sobre la perpendicular pel punt mitjà de la línia que uneix A i B, a una alçària de $0,06$ m. Determineu la velocitat de la partícula quan passa pel punt mitjà del segment que uneix A i B.
(Constant de gravitació: $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}$)

1. Càlcul del potencial gravitatori al punt $P$:
   El punt $P$ està a una distància de $r_P = 0,10 \, \text{m}$ (calculat com l’hipotenusa del triangle format per $0,08$ i $0,06$ m). El potencial creat per cada massa és:

$$V_{P,\text{per massa}} = – \frac{G M}{r_P} = – \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 300}{0,10} = -2,0 \times 10^{-7} \, \text{J/kg}$$

Com hi ha dues masses, el potencial total al punt $P$ és: $$V_P = 2 \times (-2,0 \times 10^{-7}) = -4,0 \times 10^{-7} \, \text{J/kg}$$

L’energia potencial de la partícula a $P$ és: $$U_P = m \cdot V_P = 1 \times (-4,0 \times 10^{-7}) = -4,0 \times 10^{-7} \, \text{J}$$

2. Càlcul del potencial gravitatori al punt $Q$ (punt mitjà del segment A-B):
   La distància del punt $Q$ a cadascuna de les masses és $r_Q = 0,08 \, \text{m}$. El potencial per massa és:

$$V_{Q,\text{per massa}} = – \frac{G M}{r_Q} = – \frac{6,67 \times 10^{-11} \times 300}{0,08} = -2,5 \times 10^{-7} \, \text{J/kg}$$

Per les dues masses: $$V_Q = 2 \times (-2,5 \times 10^{-7}) = -5,0 \times 10^{-7} \, \text{J/kg}$$

I l’energia potencial a $Q$: $$U_Q = m \cdot V_Q = 1 \times (-5,0 \times 10^{-7}) = -5,0 \times 10^{-7} \, \text{J}$$

3. Aplicació de la conservació de l’energia:

$$K_P + U_P = K_Q + U_Q$$

Com la partícula es deixa anar des de $P$ sense velocitat inicial, $K_P = 0$. Al punt $Q$, l’energia cinètica serà: $$K_Q = \frac{1}{2} m v_Q^2$$

Així: $$0 + (-4,0 \times 10^{-7}) = \frac{1}{2} \times 1 \times v_Q^2 + (-5,0 \times 10^{-7})$$ $$\frac{1}{2} v_Q^2 = -4,0 \times 10^{-7} + 5,0 \times 10^{-7} = 1,0 \times 10^{-7}$$ $$v_Q^2 = 2,0 \times 10^{-7}$$ $$v_Q = \sqrt{2,0 \times 10^{-7}} = 4,47 \times 10^{-4} \, \text{m/s}$$

Resposta final:
La velocitat de la massa d’1 kg en passar pel punt mitjà és aproximadament $4,47 \times 10^{-4} \, \text{m/s}$.