Velocitat d’un satèl·lit a l’apogeu d’una òrbita el·líptica

Un satèl·lit artificial es col·loca en una òrbita el·líptica al voltant de la Terra, com es mostra a la figura. Determineu la velocitat del satèl·lit a l’apogeu.

En el perigeu i l’apogeu d’una òrbita el·líptica, els vectors posició $\vec{r}$ i moment lineal $\vec{p}$ són perpendiculars (formen un angle de $90$º). Per tant, el moment angular $L$ del satèl·lit és constant, i es compleix que: $$L_A = L_P \Longrightarrow r_A m v_A = r_P m v_P$$

On:

• $r_A$ i $r_P$ són els radis a l’apogeu i al perigeu, respectivament,
• $v_A$ i $v_P$ són les velocitats a l’apogeu i al perigeu, respectivament,
• $m$ és la massa del satèl·lit.

Després, podem expressar la velocitat a l’apogeu com: $$v_A = v_P \cdot \frac{r_P}{r_A}$$

Substituïm els valors donats: $$r_A = 7,6 \times 10^{6} \, \text{m}, \quad r_P = 2,51 \times 10^{7} \, \text{m}, \quad v_P = 8,45 \times 10^{3} \, \text{m/s}$$

Calcul: $$v_A = 8{,}45 \times 10^{3} \cdot \frac{2,51 \times 10^{7}}{7,6 \times 10^{6}} = 2{,}82 \times 10^{3} \, \text{m/s}$$

Resposta final:
La velocitat del satèl·lit a l’apogeu és aproximadament $2820$ m/s.