Càlcul de la massa de la Lluna a partir del moviment orbital d’un satèl·lit

Un satèl·lit fa voltes a la Lluna en una òrbita circular de 1900 km de radi, amb un període de $2$ hores. Determineu la massa de la Lluna.
(Constant de gravitació: $G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$)

Sabem que la força gravitatòria que exerceix la Lluna sobre el satèl·lit proporciona l’acceleració centrípeta: $$\frac{G M_L m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

On:

• $M_L$ és la massa de la Lluna (a determinar),
• $r = 1900 \, \text{km} = 1,9 \times 10^{6} \, \text{m}$ és el radi de l’òrbita,
• $v$ és la velocitat orbital,
• $m$ és la massa del satèl·lit (simplifica, es cancela).

Aïllant $M_L$: $$G M_L = r v^2 \quad \Rightarrow \quad M_L = \frac{r v^2}{G}$$

La velocitat orbital vv està relacionada amb el període $T$: $$v = \frac{2 \pi r}{T}$$

Donat que $T = 2 \, \text{hores} = 2 \times 3600 = 7200 \, \text{s}$, calculem $v$: $$v = \frac{2 \pi \times 1,9 \times 10^{6}}{7200} \approx \frac{11,938,052}{7200} \approx 1657,5 \, \text{m/s}$$

Ara calculem $M_L$: $$M_L = \frac{1,9 \times 10^{6} \times (1657,5)^2}{6,67 \times 10^{-11}} = \frac{1,9 \times 10^{6} \times 2,747 \times 10^{6}}{6,67 \times 10^{-11}}$$ $$= \frac{5,219 \times 10^{12}}{6,67 \times 10^{-11}} = 7,82 \times 10^{22} \, \text{kg}$$

Resposta final:
La massa de la Lluna és aproximadament $\boxed{7,8 \times 10^{22}}$ kg.