Moviment de satèl·lits i planetes. Càlcul del període

Un satèl·lit descriu una òrbita circular al voltant de la Terra de $15.000$ km de radi. Calculeu el període de rotació del satèl·lit.
(Radi de la Terra: $R_T = 6370 \, \text{km}$)

Sabem que la força gravitatòria proporciona l’acceleració centrípeta per al moviment del satèl·lit: $$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

On:

• $r = 15.000 \, \text{km} = 1{,}5 \times 10^7 \, \text{m}$ és el radi de l’òrbita,
• $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}$,
• $M_T$ és la massa de la Terra,
• $v$ és la velocitat orbital.

Simplificant: $$v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}$$

El període $T$ es calcula com: $$T = \frac{2 \pi r}{v} = 2 \pi r \sqrt{\frac{r}{G M_T}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}$$

Com que $G M_T = g_0 R_T^2$, on $g_0 = 9{,}81 \, \text{m/s}^2$ i $R_T = 6{,}37 \times 10^6 \, \text{m}$: $$G M_T = 9{,}81 \times (6{,}37 \times 10^6)^2 = 3{,}98 \times 10^{14} \, \text{m}^3/\text{s}^2$$

Substituïm a l’expressió del període: $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(1{,}5 \times 10^7)^3}{3{,}98 \times 10^{14}}}$$

Calculant: $$(1{,}5 \times 10^7)^3 = 3{,}375 \times 10^{21}$$ $$\frac{3{,}375 \times 10^{21}}{3{,}98 \times 10^{14}} = 8{,}48 \times 10^{6}$$ $$\sqrt{8{,}48 \times 10^{6}} = 2{,}91 \times 10^{3} \, \text{s}$$

Finalment: $$T = 2 \pi \times 2{,}91 \times 10^{3} = 1{,}83 \times 10^{4} \, \text{s}$$

Convertim a hores: $$\frac{1{,}83 \times 10^{4}}{3600} \approx 5{,}08 \, \text{hores}$$

Resposta final:
El període de rotació del satèl·lit és aproximadament 5,1 hores.