Alçada d’un satèl·lit geostacionari

Un satèl·lit es diu geostacionari si es manté sempre sobre la vertical d’un mateix punt de la Terra. A quina alçada es troba un satèl·lit geostacionari?
(Radi de la Terra: $R_T = 6370 \, \text{km}$)

El període d’un satèl·lit geostacionari és el mateix que el període de rotació de la Terra, és a dir: $$T = 1 \, \text{dia} = 8{,}64 \times 10^4 \, \text{s}$$

Suposant una òrbita circular, la força gravitatòria que exerceix la Terra sobre el satèl·lit proporciona l’acceleració centrípeta necessària per al seu moviment orbital. Aplicant la segona llei de Newton: $$\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$$

Multiplicant els dos membres per $r$, i substituint $v = \frac{2\pi r}{T}$: $$\frac{G M_T}{r} = \left( \frac{2\pi r}{T} \right)^2 \cdot \frac{1}{r} \quad \Rightarrow \quad G M_T = \frac{4\pi^2 r^3}{T^2}$$

Aïllant $r$: $$r = \left( \frac{G M_T T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}$$

Ara, per simplificar el càlcul, es pot usar l’expressió: $$G M_T = g_0 R_T^2$$

on $g_0 = 9{,}81 \, \text{m/s}^2$ i $R_T = 6{,}37 \times 10^6 \, \text{m}$. Substituïm: $$r = \left( \frac{4 \pi^2 \cdot g_0 \cdot R_T^2 \cdot T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3} = \left( g_0 R_T^2 T^2 \right)^{1/3}$$

Substituint valors: $$r = \left( 9{,}81 \cdot (6{,}37 \times 10^6)^2 \cdot (8{,}64 \times 10^4)^2 \right)^{1/3} \approx 4{,}22 \times 10^7 \, \text{m} = 42\,200 \, \text{km}$$

Aquesta és la distància total al centre de la Terra. Per trobar l’alçada sobre la superfície terrestre: $$h = r – R_T = 42\,200 \, \text{km} – 6\,370 \, \text{km} = \boxed{35\,800 \, \text{km}}$$