Càlcul de la força gravitatòria exercida per dues masses simètriques sobre una partícula

Dues masses de $6,40$ kg es troben separades una distància de $16$ cm. Determineu la força que exerceixen sobre una partícula de $100$ g situada $6$ cm per damunt del punt mig de la línia que uneix les dues masses. (Constant de gravitació: $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

El mòdul de la força que exerceix cadascuna de les dues masses de $6,40$ kg sobre la partícula de $100$ g és el mateix, ja que la situació és simètrica. Aquesta força val: $$F_1 = F_2 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6{,}40 \cdot 0{,}1}{(0{,}10)^2} = 4{,}27 \times 10^{-9} \, \text{N}$$

on $r = \sqrt{(0{,}08)^2 + (0{,}06)^2} = 0{,}10 \, \text{m}$, ja que cada massa està a 8 cm del centre horitzontalment, i la partícula es troba a $6$ cm de distància vertical.

Les components dels vectors força són: $$F_1 = -4{,}27 \times 10^{-9} \cdot \left( \frac{0{,}08}{0{,}10} \, \mathbf{i} + \frac{0{,}06}{0{,}10} \, \mathbf{j} \right) = -4{,}27 \times 10^{-9} (0{,}8 \, \mathbf{i} + 0{,}6 \, \mathbf{j}) \, \text{N}$$ $$F_2 = -4{,}27 \times 10^{-9} \cdot \left( -0{,}8 \, \mathbf{i} + 0{,}6 \, \mathbf{j} \right) = 4{,}27 \times 10^{-9} (0{,}8 \, \mathbf{i} – 0{,}6 \, \mathbf{j}) \, \text{N}$$

Ara sumem $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$:

• Components en $\mathbf{i}$: $$-4{,}27 \times 10^{-9} \cdot 0{,}8 + 4{,}27 \times 10^{-9} \cdot 0{,}8 = 0$$
• Components en $\mathbf{j}$: $$-4{,}27 \times 10^{-9} \cdot 0{,}6 – 4{,}27 \times 10^{-9} \cdot 0{,}6 = -5{,}12 \times 10^{-9} \, \mathbf{j}$$

Resposta final: $\vec{F} = -5{,}12 \times 10^{-9} \, \mathbf{j} \, \text{N}$

La força total és vertical cap avall, de mòdul $5{,}12 \times 10^{-9} \, \text{N}$.