Lleis de Kepler

Els primers estudis per explicar la cinemàtica del sistema solar els trobem en els antics grecs. L’astrònom Ptolemeu, cap a l’any 140, va resumir tots els coneixements astronòmics dels grecs formulant la teoria geocèntrica, segons la qual la Terra es trobava al centre de l’univers, mentre el Sol i la Lluna giraven al seu voltant en òrbites circulars. En aquest model, els planetes descrivien òrbites més complexes, formades per petits cercles, anomenats epicicles, que se superposaven sobre altres cercles.

Cap a l’any 1543, l’astrònom polonès Copèrnic va proposar un model heliocèntric per explicar millor el moviment dels planetes. En aquest model, el Sol estava situat al centre de l’univers i els planetes, inclosa la Terra, giraven al seu voltant.

A finals del segle XVII, l’astrònom danès Tycho Brahe va estudiar els moviments dels planetes i va realitzar observacions molt més precises que les fetes fins aleshores (encara sense telescopi). Brahe mantenia que la Lluna i el Sol giraven al voltant de la Terra, però acceptava que els altres planetes orbitaven al voltant del Sol.

Johannes Kepler, utilitzant les dades de Brahe, a qui havia assistit com a ajudant durant alguns anys, va descobrir que les òrbites dels planetes al voltant del Sol eren el·líptiques. També va demostrar que la velocitat dels planetes no era constant i que aquests es movien més ràpidament quan eren més a prop del Sol. Kepler va sintetitzar els seus descobriments en tres lleis que regeixen la cinemàtica dels planetes. Aquestes tres lleis s’enuncien de la manera següent:

1. Llei de les òrbites: L’òrbita que descriu un planeta és el·líptica, i el Sol n’ocupa un dels focus.
2. Llei de les àrees: El radi vector que uneix el Sol amb un planeta descriu àrees iguals en temps iguals.
3. Llei dels períodes: El quadrat del període de l’òrbita que descriu un planeta és proporcional al cub de la seva distància mitjana al Sol.

El punt de l’òrbita d’un planeta situat a la distància mínima del Sol s’anomena periheli (o perigeu en el cas d’òrbites al voltant de la Terra, i periastre en altres casos). En canvi, el punt de l’òrbita situat a la distància màxima del Sol s’anomena afeli (o apogeu en el cas d’òrbites al voltant de la Terra, i apoastre en altres casos).

El semieix major (a) d’una el·lipse és la semisuma de les distàncies a l’afeli i al periheli.

Quan un planeta es desplaça entre dos punts de l’òrbita, invertint un temps $\Delta t$, l’àrea que descriu el radi vector que va del Sol al planeta és exactament la mateixa. Aquesta segona llei és una conseqüència directa de la conservació del moment angular, que veurem més endavant.

La tercera llei de Kepler relaciona el període de rotació d’un planeta amb la seva distància mitjana al Sol. Si anomenem $r$ a la distància mitjana d’un planeta al Sol i $T$ al període de rotació del planeta, la tercera llei de Kepler estableix que:

$$T^2 = C\cdot r^3$$

Expressió en la qual $C$ representa una constant que té el mateix valor per a tots els planetes.

La tercera llei de Kepler es pot utilitzar per a l’obtenció de radis i/o períodes orbitals, relacionant les òrbites de dos cossos al voltant d’un tercer. Com hem dit, la constant $C$ pren el mateix valor per als dos cossos, i podem escriure: $$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$$

on $T_1$ i $T_2$ són els períodes orbitals, i $r_1$ i $r_2$ les distàncies mitjanes al cos central.