Càlcul del Període Orbital de Neptú amb la Tercera Llei de Kepler

El radi mitjà de l’òrbita que descriu Neptú al voltant del Sol és $30$ vegades més gran que el radi mitjà de l’òrbita que descriu la Terra. Quant temps tarda Neptú en fer una volta completa al Sol?

Considerant òrbites circulars al voltant del Sol i anomenant $1$ a la Terra i $2$ a Neptú, les dades són $r_2 = 30 \cdot r_1$ i $T_1 = 1 \text{ any}$. Aplicant la tercera llei de Kepler als dos planetes, s’obté:

$$\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$$

Substituint $\frac{r_2}{r_1} = 30$:

$$\left( \frac{T_2}{T_1} \right)^2 = 30^3$$

Com $T_1 = 1 \text{ any}$:

$$T_2^2 = 30^3 = 27000$$

$$T_2 = \sqrt{27000} \approx 164 \text{ anys}$$

Per tant, Neptú tarda aproximadament $164$ anys a completar una volta al Sol.

$$\boxed{T_2 = 164 \text{ anys}}$$