Càlcul del Diàmetre Superior d’una Torre de Refredament Hiperboloide mitjançant l’Equació de la Hipèrbola

Una torre de refredament, com la que es veu a la imatge, és una estructura hiperboloide (geometria hiperbòlica). Suposem que el diàmetre de la seva base és de $100$ metres i el seu diàmetre més petit, de $48$ metres, es troba a $84$ metres de la base. Si la torre fa $120$ metres d’alçada, calculeu el seu diàmetre a la part més alta.

Dibuixem una hipèrbola amb centre a l’origen de coordenades. Incloem les dades conegudes de l’enunciat.

L’equació de la hipèrbola és:
$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Coneixem el valor $a = 24$, per tant, l’equació queda:
$$\frac{x^2}{24^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \longrightarrow _ \frac{x^2}{576} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Sabem que la hipèrbola passa pel punt $(50, -84)$, cosa que ens permet calcular (b):
$$\frac{50^2}{576} – \frac{(-84)^2}{b^2} = 1$$

Resolem l’equació i obtenim:
$$b = \frac{1008}{\sqrt{481}}$$

Per tant, tenim l’equació completa de la hipèrbola:
$$\frac{x^2}{24^2} – \frac{y^2}{\left( \frac{1008}{\sqrt{481}} \right)^2} = 1$$

Ara només cal calcular la component $x$ del punt $(x, 36)$, que serà la meitat del diàmetre de la part superior.

Com que el punt $(x, 36)$ està a la hipèrbola, fem que compleixi l’equació:
$$\frac{x^2}{24^2} – \frac{36^2}{\left( \frac{1008}{\sqrt{481}} \right)^2} = 1$$

En resoldre l’equació, obtenim un valor aproximat de $x = 30,49$.

Per tant, el diàmetre de la part superior és d’aproximadament:
$$\boxed{61} \text{ metres}$$