PROBLEMA 4 DE EVAU MATEMATICAS II ARAGÓN
1 d'abril de 2021 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Se considera la dreita $r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+z&=1\\2x+y&=3\end{array}\right.$
a) Calcule la equación d’o plano que contiene a la dreita $r$ y que pasa per lo punto $(0,0,1)$.
b) Se considera lo paralelepípedo definiu per los vectors $\vec u,~\vec v\text{ y }\vec u\times\vec v$. Sabendo que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, calcule lo volumen de dito paralelepípedo.

a) La equación d’o fe de plans que contiene a $r$ ye:

$$(x+z-1)+\lambda(2x+y-3)=0$$
Substituyimos las coordenadas d’o punto $(0,0,1)$ en o fe y resolvemos:

$$(0+1-1)+\lambda(2\cdot0+0-3)=0~;\\-3\lambda=0~;\\ \lambda=0$$
Substituyimos $λ=0$ en a equación d’o fe y tenemos lo plano que contiene a $r$ y pasa per $(0,0,1)$:

$$\boxed{x+z-1=0}$$

b) Lo volumen d’un paralelepípedo formau per $3$ vectors $\vec a,~\vec b,~\vec c$ ye lo modulo d’o producto mixto d’ixes $3$ vectors. Pero, en este caso particular, lo paralelepípedo ye un prisma dreito ya que $\vec u\times\vec v$ ye perpendicular a los vectors $\vec u\text{ y }\vec v$.
Los vectors $\vec u\text{ y }\vec v$ forman la base d’o prisma dreito que lo suyo aria ye: $|\vec u\times\vec v|$.
L’altura d’o prisma ye $|\vec u\times\vec v|$.
Lo volumen d’un prisma ye l’aria d’a base multiplicau per la suya altura, dimpués lo volumen ye:

$$V=A_b\cdot H=|\vec u\times\vec v|^2$$
Dau que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, alavez:

$$V=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}^2=\boxed{3\text{ u.v.}}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà.