LEMNISCATA
Matemàtiques
a) La equación d’o fe de plans que contiene a $r$ ye:
$$(x+z-1)+\lambda(2x+y-3)=0$$
Substituyimos las coordenadas d’o punto $(0,0,1)$ en o fe y resolvemos:
$$(0+1-1)+\lambda(2\cdot0+0-3)=0~;\\-3\lambda=0~;\\ \lambda=0$$
Substituyimos $λ=0$ en a equación d’o fe y tenemos lo plano que contiene a $r$ y pasa per $(0,0,1)$:
$$\boxed{x+z-1=0}$$
b) Lo volumen d’un paralelepípedo formau per $3$ vectors $\vec a,~\vec b,~\vec c$ ye lo modulo d’o producto mixto d’ixes $3$ vectors. Pero, en este caso particular, lo paralelepípedo ye un prisma dreito ya que $\vec u\times\vec v$ ye perpendicular a los vectors $\vec u\text{ y }\vec v$.
Los vectors $\vec u\text{ y }\vec v$ forman la base d’o prisma dreito que lo suyo aria ye: $|\vec u\times\vec v|$.
L’altura d’o prisma ye $|\vec u\times\vec v|$.
Lo volumen d’un prisma ye l’aria d’a base multiplicau per la suya altura, dimpués lo volumen ye:
$$V=A_b\cdot H=|\vec u\times\vec v|^2$$
Dau que $\vec u\times\vec v=(-1,1,1)$, alavez:
$$V=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}^2=\boxed{3\text{ u.v.}}$$