Contracció Relativista de la Longitud d’un Cohet

Un cohet té una longitud de $20$ m quan es troba en repòs. Calcula el canvi en la longitud quan es desplaça a una velocitat de: a) $7,2 \cdot 10^7$ km/h; b) $0,9 c$.

Per calcular el canvi en la longitud del cohete a causa de la contracció relativista de Lorentz, utilitzem la fórmula:

$$L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}$$

On:

• $L_0 = 20 \, \text{m}$ és la longitud en repòs.
• $v$ és la velocitat del cohete.
• $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ és la velocitat de la llum.
• $L$ és la longitud contreta.

El canvi en la longitud és $\Delta L = L_0 – L$.

a) Velocitat $v = 7.2 \times 10^7 \, \text{km/h}$

1. Convertim la velocitat a metres per segon:
   $$7.2 \times 10^7 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 2 \times 10^7 \, \text{m/s}$$
2. Calculem $\frac{v^2}{c^2}$:
   $$\frac{v}{c} = \frac{2 \times 10^7}{3 \times 10^8} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \approx 0.06667$$
   $$\frac{v^2}{c^2} = (0.06667)^2 \approx 0.004444$$
3. Calculem la longitud contreta:
   $$L = 20 \sqrt{1 – 0.004444} = 20 \sqrt{0.995556} \approx 20 \times 0.99777 = 19.9554 \, \text{m}$$
4. Canvi en la longitud:
   $$\Delta L = 20 – 19.9554 = 0.0446 \, \text{m}$$

Resposta a): El canvi en la longitud és aproximadament $0.045$ m (o $4.5$ cm).

b) Velocitat $v = 0.9c$

1. Com que $v = 0.9c$, calculem $\frac{v^2}{c^2}$:
   $$\frac{v}{c} = 0.9$$
   $$\frac{v^2}{c^2} = (0.9)^2 = 0.81$$
2. Calculem la longitud contreta:
   $$L = 20 \sqrt{1 – 0.81} = 20 \sqrt{0.19} \approx 20 \times 0.43589 = 8.7178 \, \text{m}$$
3. Canvi en la longitud:
   $$\Delta L = 20 – 8.7178 = 11.2822 \, \text{m}$$

Resposta b): El canvi en la longitud és aproximadament $11.28$ m.

Resum

• a) $\Delta L \approx 0.045 \, \text{m}$
• b) $\Delta L \approx 11.28 \, \text{m}$