Càlcul de desintegració radioactiva

Una mostra d’un material radioactiu, immediatament després de ser extret del reactor on s’ha format, té una activitat de $115,0$ Bq. La seva activitat $2$ h $15$ min després resulta ser $85,2$ Bq. [a.] Calcula la constant de desintegració i el període de semidesintegració de la mostra. [b.] Quants nuclis radioactius hi havia inicialment?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem les equacions de desintegració radioactiva.

Dades inicials:

• Activitat inicial: \( A_0 = 115,0 \, \text{Bq} \)

• Activitat després de \( t = 2 \, \text{h} \, 15 \, \text{min} = 2,25 \, \text{h} = 2,25 \cdot 3600 = 8100 \, \text{s} \): \( A = 85,2 \, \text{Bq} \)

• Equació de l’activitat: \begin{equation} A = A_0 e^{-\lambda t} \end{equation} on \( \lambda \) és la constant de desintegració.

• Període de semidesintegració: \begin{equation} T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \end{equation}

• Nombre inicial de nuclis: \begin{equation} A_0 = \lambda N_0 \end{equation

a. Constant de desintegració (\( \lambda \)) i període de semidesintegració (\( T_{1/2} \)).

Reorganizem l’equació (1) per aïllar \( \lambda \):\begin{equation} \frac{A}{A_0} = e^{-\lambda t} \implies \ln\left(\frac{A}{A_0}\right) = -\lambda t \implies \lambda = -\frac{\ln\left(\frac{A}{A_0}\right)}{t}\end{equation}Substituïm:\begin{equation} \lambda = -\frac{\ln\left(\frac{85,2}{115,0}\right)}{8100}\end{equation}Calculem:\begin{equation} \frac{85,2}{115,0} \approx 0,74087 \implies \ln(0,74087) \approx -0,29975\end{equation}\begin{equation} \lambda = \frac{0,29975}{8100} \approx 3,7006 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1}\end{equation}$\textbf{Resposta}$: \( \lambda \approx 3,70 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \).

Per al període de semidesintegració, utilitzem l’equació (2):\begin{equation} T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{0,69315}{3,7006 \cdot 10^{-5}} \approx 18732 \, \text{s}\end{equation}Convertim a hores:\begin{equation} 18732 \div 3600 \approx 5,20 \, \text{h}\end{equation}

$\textbf{Resposta}$: \( T_{1/2} \approx 5,20 \, \text{h} \).%

b. Nombre inicial de nuclis (\( N_0 \)). L’activitat inicial està relacionada amb el nombre inicial de nuclis per l’equació (3):\begin{equation} A_0 = \lambda N_0 \implies N_0 = \frac{A_0}{\lambda}\end{equation}Substituïm:\begin{equation} N_0 = \frac{115,0}{3,7006 \cdot 10^{-5}} \approx 3,11 \cdot 10^6\end{equation}

$\textbf{Resposta}$: \( N_0 \approx 3,11 \cdot 10^6 \, \text{nuclis} \).

Resposta final:

• [a.] \( \lambda \approx 3,70 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \), \( T_{1/2} \approx 5,20 \, \text{h} \).
• [b.] \( N_0 \approx 3,11 \cdot 10^6 \, \text{nuclis} \).