Anàlisi del Camp Elèctric, Potencial i Treball d’una Càrrega Puntual

Una càrrega positiva de $2 \, \mu\text{C}$ està a l’origen d’un sistema de coordenades. Calculeu: a) El camp elèctric al punt $(2, 3) \, \text{m}$ i la força electrostàtica exercida sobre una partícula carregada amb $-2 \, \mu\text{C}$ situada en aquest punt. b) El potencial elèctric $V$ en un punt $P$ situat a $4 \, \text{m}$ de l’origen (considerant $V_\infty = 0$). c) Quant treball ha de ser realitzat per un agent extern per portar una càrrega de $3 \, \mu\text{C}$ des de l’infinit fins al punt $P$.

a) El camp elèctric ve donat per la expressió:
$$\vec{E} = \frac{k q}{r^2} \hat{r}$$
on (\hat{r}) és el vector unitari la direcció del qual és la línia que uneix la càrrega amb el punt on volem calcular el camp. En aquest cas, tenim:

• $\overrightarrow{r} = (2, 3) – (0, 0) = (2, 3) \, \text{m}$
• Mòdul: $r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \, \text{m}$
• Vector unitari: $\hat{r} = \frac{(2, 3)}{\sqrt{13}} = \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$

Substituint:
$$\vec{E} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{13})^2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{13} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$$
$$= \frac{18 \cdot 10^3}{13} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$$
$$\approx 1,385 \cdot 10^3 \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}} \right)$$
$$\approx \left( \frac{2,77 \cdot 10^3}{\sqrt{13}}, \frac{4,16 \cdot 10^3}{\sqrt{13}} \right) \approx (768, 1152) \, \text{N/C}$$

Per tant:
$$\vec{E} \approx 768 \hat{i} + 1152 \hat{j} \, \text{N/C}$$

Força electrostàtica:
$$\vec{F} = q \cdot \vec{E}$$
Amb $q = -2 \cdot 10^{-6} \, \text{C}$:
$$\vec{F} = -2 \cdot 10^{-6} \cdot (768 \hat{i} + 1152 \hat{j})$$
$$\approx (-1,54 \cdot 10^{-3} \hat{i} – 2,3 \cdot 10^{-3} \hat{j}) \, \text{N}$$

b) Per calcular el potencial a $4 \, \text{m}$ de l’origen:
$$V = \frac{k q}{r}$$
Substituint:
$$V = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{4} = 9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-7} = 4500 \, \text{V}$$

c) El treball ve donat per:
$$W = -\Delta E_p$$
Com que el treball el realitza un agent extern, aquest treball ha de ser positiu; així que en aquest cas, tenim:
$$W = q (V_p – V_\infty)$$
Com que el potencial a l’infinit és nul ($V_\infty = 0$):
$$W = 3 \cdot 10^{-6} \cdot 4500 = 0,0135 \, \text{J}$$