Vida mitjana electrodomèstic. Distribuió normal

Se sap que la vida mitjana d’un electrodomèstic és de $10$ anys amb una desviació típica de $0.7$ anys. Suposant que la vida mitjana segueix una distribució normal, calcula: a) La probabilitat que l’electrodomèstic duri més de nou anys. b) La probabilitat que duri entre $9$ i $11$ anys.

Donat que la vida útil d’un electrodomèstic segueix una distribució normal amb una mitjana de $\mu = 10$ anys i una desviació típica de $\sigma = 0.7$ anys, podem utilitzar la distribució normal estàndard per calcular les probabilitats.

La fórmula per a estandarditzar la variable és: $Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$

Apartat a) $P(X > 9)$

Primer, calculem el valor de $Z$ per a $X = 9$: $Z = \frac{9 – 10}{0.7} = \frac{-1}{0.7} \approx -1.43$

Ara, busquem en la taula de la distribució normal estàndard $P(Z < -1.43)$, que és aproximadament $0.0764$.

Com que volem calcular $P(X > 9)$, utilitzem la propietat de simetria de la distribució normal: $P(X > 9) = 1 – P(Z < -1.43) = 1 – 0.0764 = 0.9236$

Per tant, la probabilitat que l’electrodomèstic duri més de $9$ anys és $0.9236$ ($92.36$%).

Apartat b) $P(9 < X < 11)$

Ara, calculem el valor de $Z$ per a $X = 11$: $Z = \frac{11 – 10}{0.7} = \frac{1}{0.7} \approx 1.43$

De la taula de la distribució normal, sabem que $P(Z < 1.43)$ és aproximadament $0.9236$.

Finalment, la probabilitat que $X$ estigui entre $9$ i $11$ anys és: $$P(9 < X < 11) = P(Z < 1.43) – P(Z < -1.43) = 0.9236 – 0.0764 = 0.8472$$

Per tant, la probabilitat que l’electrodomèstic duri entre $9$ i $11$ anys és $0.8472$ ($84.72$%).