Velocitat i Moment Angular de l’Apol·lo XI al Voltant de la Lluna

Durant el vol Apol·lo XI, l’astronauta M. Collins va girar al voltant de la Lluna, en un mòdul de comandament, sobre una òrbita aproximadament circular. Suposant que el període d’aquest moviment fos de $90$ minuts exactes i que la seva òrbita estigués a $100$ km per sobre de la superfície lunar, calcula: a) La velocitat amb què recorria l’òrbita. b) El seu moment angular respecte del centre del satèl·lit, suposant que la massa de l’astronauta fos de 80,0 kg. Dades: \( R_L = 1,738 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

Pas 1: Convertim les dades a unitats del SI

• Radi de la Lluna: \( R_L = 1,738 \cdot 10^6 \, \text{m} \). – Altitud de l’òrbita: 100 km = \( 100 \cdot 10^3 = 1,0 \cdot 10^5 \, \text{m} \).

• Radi total de l’òrbita (des del centre de la Lluna): \[r = R_L + \text{altitud} = 1,738 \cdot 10^6 + 1,0 \cdot 10^5 = 1,838 \cdot 10^6 \, \text{m}\] – Període: \[T = 90 \, \text{min} \times 60 = 5400 \, \text{s}\]

a) Velocitat orbital. Per a una òrbita circular, la velocitat \( v \) es calcula com: \[v = \frac{2 \pi r}{T}\] Substituint: \[v = \frac{2 \pi \cdot 1,838 \cdot 10^6}{5400}\] \[v \approx \frac{6,2832 \cdot 1,838 \cdot 10^6}{5400} \approx \frac{11,548 \cdot 10^6}{5400} \approx 2138,5 \, \text{m/s}\] Arrodonint: \[v \approx 2,14 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\]

b) Moment angular. El moment angular \( L \) respecte del centre de la Lluna es defineix com: \[L = m r v\]

Dades:

• \( m = 80,0 \, \text{kg} \),

• \( r = 1,838 \cdot 10^6 \, \text{m} \),

• \( v = 2138,5 \, \text{m/s} \). Substituint: \[L = 80,0 \cdot 1,838 \cdot 10^6 \cdot 2138,5\]

• Primer, calculem \( r \cdot v \): \[r \cdot v = 1,838 \cdot 10^6 \cdot 2138,5 \approx 3,930 \cdot 10^9\] – Ara multipliquem per la massa: \[L = 80,0 \cdot 3,930 \cdot 10^9 \approx 3,144 \cdot 10^{11} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\]

Resposta final

a) La velocitat orbital és: \[v \approx 2,14 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\]

b) El moment angular respecte del centre de la Lluna és: \[L \approx 3,14 \cdot 10^{11} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\]

Nota: Si el problema es refereix al mòdul de comandament complet i no només a l’astronauta, caldria la massa del mòdul, però com que el problema especifica la massa de l’astronauta (80,0 kg), hem utilitzat aquest valor.