Càlcul del Moment Angular de la Lluna al Voltant de la Terra

Suposant que l’òrbita de la Lluna al voltant de la Terra té un radi de \( 3,84 \cdot 10^5 \, \text{km} \) amb un període de 27,3 dies i que la seva massa és 0,012 vegades la de la Terra, calcula el moment angular de la Lluna respecte del centre de la Terra. Dades: \( M_T = 6,0 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \).

Pas 1: Calculem la massa de la Lluna. La massa de la Lluna \( M_L \) és 0,012 vegades la massa de la Terra \( M_T \): \[M_L = 0,012 \cdot M_T = 0,012 \cdot 6,0 \cdot 10^{24} = 7,2 \cdot 10^{22} \, \text{kg}\]

Pas 2: Convertim les dades a unitats del SI

• Radi de l’òrbita: \[r = 3,84 \cdot 10^5 \, \text{km} = 3,84 \cdot 10^8 \, \text{m}\]

• Període: \[T = 27,3 \, \text{dies} \times 24 \times 60 \times 60 = 2,359 \cdot 10^6 \, \text{s}\]

Pas 3: Calculem la velocitat orbital de la Lluna. Assumint una òrbita circular, la velocitat \( v \) es calcula com: \[v = \frac{2 \pi r}{T}\] Substituint: \[v = \frac{2 \pi \cdot 3,84 \cdot 10^8}{2,359 \cdot 10^6} \approx \frac{6,2832 \cdot 3,84 \cdot 10^8}{2,359 \cdot 10^6} \approx 1,023 \cdot 10^3 \, \text{m/s}\]

Pas 4: Calculem el moment angular. El moment angular \( L \) respecte del centre de la Terra es defineix com: \[L = m r v\] Substituint \( m = M_L \), \( r \), i \( v \): \[L = (7,2 \cdot 10^{22}) \cdot (3,84 \cdot 10^8) \cdot (1,023 \cdot 10^3)\]

• Primer, calculem \( r \cdot v \): \[r \cdot v = 3,84 \cdot 10^8 \cdot 1,023 \cdot 10^3 = 3,928 \cdot 10^{11}\]

• Ara multipliquem per la massa: \[L = 7,2 \cdot 10^{22} \cdot 3,928 \cdot 10^{11} \approx 2,828 \cdot 10^{34} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\]

Resposta final. El moment angular de la Lluna respecte del centre de la Terra és: \[L \approx 2,83 \cdot 10^{34} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\]