Moment angular i moviment planetari

En el seu afeli, el planeta Mercuri està a \( 6,99 \cdot 10^{10} \, \text{km} \) del Sol, i en el seu periheli, a \( 4,63 \cdot 10^{10} \, \text{km} \) del mateix. La seva velocitat orbital és \( 3,88 \cdot 10^4 \, \text{m/s} \) en l’afeli. Quina és la seva velocitat orbital en el periheli? Quina excentricitat té l’òrbita de Mercuri?

a) Velocitat orbital en el periheli. Com que Mercuri està sotmès a una força central (la gravetat del Sol), el moment angular es conserva. En les posicions d’afeli i periheli, la velocitat és perpendicular al radi vector, per la qual cosa:\[r_a m v_a = r_p m v_p \implies r_a v_a = r_p v_p\] Aïllem \( v_p \):\[v_p = \frac{r_a v_a}{r_p}\] Substituint els valors (\( r_a = 6,99 \cdot 10^{10} \, \text{km} \), \( r_p = 4,63 \cdot 10^{10} \, \text{km} \), \( v_a = 3,88 \cdot 10^4 \, \text{m/s} \)), primer convertim els radis a metres per mantenir les unitats consistents: \[r_a = 6,99 \cdot 10^{10} \, \text{km} \cdot 10^3 = 6,99 \cdot 10^{13} \, \text{m}, \quad r_p = 4,63 \cdot 10^{10} \, \text{km} \cdot 10^3 = 4,63 \cdot 10^{13} \, \text{m}\] Ara calculem: $$v_p = \frac{6,99 \cdot 10^{13} \cdot 3,88 \cdot 10^4}{4,63 \cdot 10^{13}} = \frac{6,99 \cdot 3,88}{4,63} \cdot 10^4 = \frac{27,1212}{4,63} \cdot 10^4 \approx 5,86 \cdot 10^4 \ \text{m/s}$$ Per tant, la velocitat orbital en el periheli és: \[v_p \approx 5,86 \cdot 10^4 \, \text{m/s}\]

b) Excentricitat de l’òrbita. L’excentricitat \( e \) d’una òrbita el·líptica es calcula a partir del semieix major \( a \) i la distància del centre de l’el·lipse a un dels focus \( c \). Primer calculem el semieix major \( a \): \[a = \frac{r_a + r_p}{2} = \frac{6,99 \cdot 10^{10} + 4,63 \cdot 10^{10}}{2} = \frac{11,62 \cdot 10^{10}}{2} = 5,81 \cdot 10^{10} \, \text{km}\] La distància del centre de l’el·lipse a un dels focus \( c \) és:\[c = a – r_p = 5,81 \cdot 10^{10} – 4,63 \cdot 10^{10} = 1,18 \cdot 10^{10} \, \text{km}\] L’excentricitat és:\[e = \frac{c}{a} = \frac{1,18 \cdot 10^{10}}{5,81 \cdot 10^{10}} \approx 0,203\]

Resum

• La velocitat orbital de Mercuri en el periheli és \( 5,86 \cdot 10^4 \, \text{m/s} \).

• L’excentricitat de l’òrbita de Mercuri és \( 0,203 \).