Càlcul excentricitat

Es llança un satèl·lit en una direcció paral·lela a la superfície de la Terra (Fig. 3.23) amb una velocitat de 8000 m/s des d’una altitud de 500 km. Determina la velocitat del satèl·lit quan arriba a la seva màxima altitud de 4500 km. Quina excentricitat té l’òrbita que descriu? Dades: \( R_T = 6,4 \cdot 10^6 \, \text{m} \).

Com que el satèl·lit està sotmès a una força central dirigida cap al centre de la Terra, el moment angular del satèl·lit es conserva:\[L_A = L_B \implies r_A m v_A = r_B m v_B\]\[v_B = \frac{r_A v_A}{r_B} = \frac{6900 \, \text{km} \cdot 8000 \, \text{m/s}}{10900 \, \text{km}} = 5064 \, \text{m/s}\]El centre de la Terra coincideix amb un dels focus de l’el·lipse que descriu el satèl·lit. Per tant, el semieix major serà:\[a = \frac{4500 \, \text{km} + 12800 \, \text{km} + 500 \, \text{km}}{2} = 8,9 \cdot 10^6 \, \text{m} \quad (\text{vegeu la Fig. 3.24})\]

La distància d’un dels focus al centre de l’el·lipse ve donada per:\[c = a – FA = 8900 \, \text{km} – (R_T + 500 \, \text{km}) = 2000 \, \text{km} \quad (\text{Fig. 3.25})\]

L’excentricitat es defineix com:\[e = \frac{c}{a} = \frac{2000 \, \text{km}}{8900 \, \text{km}} = 0,22\]