Cometa Halley

El cometa Halley es mou en una òrbita el·líptica al voltant del Sol. En el periheli, el cometa està a \( 8,75 \cdot 10^7 \, \text{km} \) del Sol, i en l’afeli, a \( 5,26 \cdot 10^9 \, \text{km} \) del Sol. a) En quin dels dos punts té el cometa major velocitat? I major acceleració? b) En quin punt té major energia potencial? I major energia mecànica?

a) El moment angular es conserva, ja que el cometa està sotmès a una força central. Per tant, es verifica que: \( \vec{r}_a \times m \vec{v}_a = \vec{r}_p \times m \vec{v}_p \). En el periheli i en l’afeli, els vectors de posició i velocitat són perpendiculars entre si, per la qual cosa es compleix que \( r_p v_p = r_a v_a \).Com que \( r_a > r_p \), s’ha de complir que \( v_a < v_p \). En les posicions de periheli i d’afeli només existeix l’acceleració centrípeta o normal:\[a_p = -\frac{G M}{r_p^2}, \quad a_a = -\frac{G M}{r_a^2} \implies a_p = \frac{r_a^2}{r_p^2} a_a\]Per tant, es compleix que \( a_p > a_a \).

b) Energia potencial en el periheli i en l’afeli:\[E_p = -\frac{G M m}{r_p}, \quad E_a = -\frac{G M m}{r_a}\]\( E_p < E_a \), ja que és més negativa en el periheli que en l’afeli. Atès que la força que actua sobre el cometa es conservativa, l’energia mecànica es conserva. És la mateixa, doncs, en el periheli que en l’afeli (tenint en compte que l’energia cinètica en el periheli és major que en l’afeli i es compensa la menor energia potencial).