Velocitat d’escapament i moviment vertical en camps gravitatoris

Mart té una desena part de la massa de la Terra i la meitat del seu diàmetre. a) Trobeu la relació entre les velocitats d’escapament de Mart i de la Terra des de les seves respectives superfícies. b) Suposeu que un objecte es llança verticalment des de la superfície terrestre amb una velocitat igual a la velocitat d’escapament de Mart. Si es desprecia el fregament, quina altura màxima assolirà l’objecte?

\textbf{Dada:} Radi de la Terra, $R_T = 6{,}37 \cdot 10^6\ \mathrm{m}$.

a) Relació entre les velocitats d’escapament

La velocitat d’escapament es pot calcular amb l’expressió:
\[
v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}},
\]
on $M$ és la massa del planeta i $R$ el seu radi.

Si Mart té una massa que és una desena part de la massa terrestre, és a dir,
\[
M_M = \frac{M_T}{10},
\]
i el seu radi és la meitat del radi terrestre,
\[
R_M = \frac{R_T}{2},
\]
substituint aquests valors a l’expressió de la velocitat d’escapament per a Mart:
\[
v_M = \sqrt{\frac{2G M_M}{R_M}}
= \sqrt{\frac{2G \frac{M_T}{10}}{\frac{R_T}{2}}}
= \sqrt{\frac{2G M_T}{5R_T}}.
\]

Com que per a la Terra:
\[
v_T = \sqrt{\frac{2G M_T}{R_T}},
\]
tenim:
\[
v_M = \sqrt{\frac{1}{5}}\, v_T = \frac{\sqrt{5}}{5}\, v_T.
\]

Per tant:
\[
v_M = \frac{\sqrt{5}}{5}\, v_T.
\]

b) Altura màxima assolida

Com que la força gravitatòria és conservativa, es conserva l’energia mecànica.

A l’altura màxima, la velocitat és nul·la, i per tant tota l’energia és potencial. Inicialment, l’objecte té energia cinètica i potencial:
\[
E_c + E_{p}(R_T) = E_{p}(r_{\text{max}}).
\]

Això dona:
\[
\frac{1}{2} m v_M^2 – \frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{G M_T m}{r_{\text{max}}}.
\]

Substituint $v_M = \sqrt{\frac{2G M_T}{5R_T}}$:
\[
\frac{1}{2} m \cdot \frac{2G M_T}{5R_T} – \frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{G M_T m}{r_{\text{max}}}.
\]

Simplificant:
\[
\frac{G M_T m}{5R_T} – \frac{G M_T m}{R_T} = -\frac{G M_T m}{r_{\text{max}}}.
\]

Dividint per $G M_T m$:
\[
\frac{1}{5R_T} – \frac{1}{R_T} = -\frac{1}{r_{\text{max}}}.
\]

D’aquí:
\[
-\frac{4}{5R_T} = -\frac{1}{r_{\text{max}}}
\quad \Rightarrow \quad
r_{\text{max}} = \frac{5}{4} R_T.
\]

Com que:
\[
r_{\text{max}} = R_T + h,
\]
tenim:
\[
h = r_{\text{max}} – R_T = \frac{5}{4}R_T – R_T = \frac{R_T}{4}.
\]

Per tant, l’altura màxima és:
\[
h = \frac{R_T}{4}.
\]