Energies satèl·lit

Un satèl·lit de la constel·lació OneWeb®, de $150$ kg de massa, es troba en una òrbita circular al voltant de la Terra a una altura de $1200$ km sobre el nivell del mar. Determineu: a) Les energies potencial gravitatòria i cinètica que té el satèl·lit en la seva òrbita. b) L’energia que va ser necessari comunicar al satèl·lit per posar-lo en òrbita des de la superfície de la Terra.

$\textbf{Dades:}$

• Constant de gravitació universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$;
• Massa de la Terra, $M_T = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}$;
• Radi de la Terra, $R_T = 6{,}37 \cdot 10^6\ \mathrm{m}$.

a) Energies potencial gravitatòria i cinètica

L’energia potencial gravitatòria es calcula mitjançant l’expressió:
\[
E_p = -\frac{GMm}{r},
\]
on $G$ és la constant de gravitació universal, $M$ és la massa de la Terra, $m$ és la massa del satèl·lit i $r$ és la distància des del centre de la Terra fins al satèl·lit.

Aquesta distància és:
\[
r = R_T + h.
\]

Per tant:
\[
E_p = -\frac{GMm}{R_T + h}.
\]

Substituint els valors numèrics:
\[
E_p = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 150}{6{,}37 \cdot 10^6 + 1{,}2 \cdot 10^6}
= -7{,}89 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

Pel que fa a l’energia cinètica:
\[
E_c = \frac{1}{2}mv^2.
\]

Com que el satèl·lit descriu una òrbita circular, la seva velocitat orbital és:
\[
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.
\]

Substituint:
\[
E_c = \frac{1}{2} m \frac{GM}{r} = \frac{1}{2} \frac{GMm}{R_T + h}.
\]

Numèricament:
\[
E_c = \frac{1}{2} \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 150}{6{,}37 \cdot 10^6 + 1{,}2 \cdot 10^6}
= 3{,}95 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

Per tant:
\[
E_p = -7{,}89 \cdot 10^9\ \mathrm{J}, \quad E_c = 3{,}95 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

b) Energia necessària per posar-lo en òrbita

L’energia total en òrbita és:
\[
E_{\text{òrbita}} = E_c + E_p = -3{,}95 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

Inicialment, a la superfície terrestre:
\[
E_{\text{inicial}} = -\frac{GMm}{R_T}.
\]

Substituint:
\[
E_{\text{inicial}} = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}97 \cdot 10^{24} \cdot 150}{6{,}37 \cdot 10^6}
= -9{,}38 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

L’energia subministrada és:
\[
\Delta E = E_{\text{òrbita}} – E_{\text{inicial}}
= -3{,}95 \cdot 10^9 – (-9{,}38 \cdot 10^9)
= 5{,}44 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]

Per tant, l’energia de satel·lització és:
\[
\Delta E = 5{,}44 \cdot 10^9\ \mathrm{J}.
\]