Òrbita el·líptica de la Terra i camp gravitatori del Sol

La trajectòria de la Terra al voltant del Sol és una òrbita el·líptica; aquest fet fa que la distància des de la Terra al Sol no sigui la mateixa en totes les èpoques de l’any. El periheli, la distància més curta entre la Terra i el Sol, és de $1{,}471 \times 10^8$ km. La Terra passa pel periheli durant els primers dies del mes de gener de cada any. La velocitat de la Terra al periheli és de $30{,}75$ km/s. L’afeli és la posició més allunyada del Sol. Quan la Terra es troba a l’afeli, la seva velocitat orbital és de $28{,}76$ km/s. a) Dibuixeu una òrbita clarament el·líptica (no cal que sigui l’òrbita real) on s’indiqui la posició del Sol i la de la Terra un dia d’hivern de l’hemisferi nord. Utilitzant arguments basats en l’energia, justifiqueu per què la velocitat de la Terra és mínima a l’afeli. Quina és la distància de la Terra al Sol a l’afeli? b) Quina intensitat de camp gravitatori genera el Sol a la seva superfície? Quin és el pes d’una massa de $10{,}0$ kg a la superfície del Sol?

$\textbf{Dades:}$

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$

$M_{\text{Terra}} = 5{,}97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$

$M_{\text{Sol}} = 1{,}99 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$

$R_{\text{Sol}} = 6{,}96 \times 10^5\ \mathrm{km}$

a) Òrbita i velocitat a l’afeli

L’energia mecànica total de la Terra en la seva òrbita al voltant del Sol es conserva, ja que l’única força que actua és la força gravitatòria, que és conservativa. Aquesta energia és la suma de l’energia cinètica i la potencial:

\[
E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_{\text{Terra}} v^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} M_{\text{Terra}}}{r} = \text{const.}
\]

on:

• $M_{\text{Terra}}$ és la massa de la Terra,
• $v$ és la velocitat orbital,
• $G$ és la constant de gravitació universal,
• $M_{\text{Sol}}$ és la massa del Sol,
• $r$ és la distància entre la Terra i el Sol.

A l’afeli, la distància $r$ és màxima, i per tant l’energia potencial (negativa) és màxima (menys negativa). Com que l’energia total es conserva, l’energia cinètica ha de ser mínima. Per això la velocitat és mínima a l’afeli.

Aplicant la conservació de l’energia entre el periheli i l’afeli:

\[
\frac{1}{2} M_{\text{Terra}} v_a^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} M_{\text{Terra}}}{r_a}
=
\frac{1}{2} M_{\text{Terra}} v_p^2 – \frac{G M_{\text{Sol}} M_{\text{Terra}}}{r_p}
\]

Simplificant:

\[
\frac{1}{2} v_a^2 – \frac{G M_{\text{Sol}}}{r_a}
=
\frac{1}{2} v_p^2 – \frac{G M_{\text{Sol}}}{r_p}
\]

D’on:

\[
\frac{1}{2}(v_a^2 – v_p^2) = G M_{\text{Sol}} \left(\frac{1}{r_a} – \frac{1}{r_p}\right)
\]

\[
\frac{1}{r_a} = \frac{1}{r_p} + \frac{v_a^2 – v_p^2}{2 G M_{\text{Sol}}}
\]

Finalment:

\[
r_a = \left(
\frac{1}{r_p} + \frac{v_a^2 – v_p^2}{2 G M_{\text{Sol}}
}\right)^{-1}
\]

Substituint:

\[
r_a =
\left(
\frac{1}{1{,}471 \cdot 10^{11}} +
\frac{(2{,}876 \cdot 10^4)^2 – (3{,}075 \cdot 10^4)^2}
{2 \cdot 6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30}}
\right)^{-1}
= 1{,}57 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}
\]

Per tant, la distància a l’afeli és:

\[
r_a = 1{,}57 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}.
\]

\subsection*{b) Camp gravitatori i pes al Sol}

La intensitat del camp gravitatori a la superfície del Sol és:

\[
g_S = \frac{G M_{\text{Sol}}}{R_{\text{Sol}}^2}
\]

Amb $R_{\text{Sol}} = 6{,}96 \cdot 10^8\ \mathrm{m}$:

\[
g_S =
\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 1{,}99 \cdot 10^{30}}
{(6{,}96 \cdot 10^8)^2}
= 2{,}74 \cdot 10^2\ \mathrm{m/s^2}
\]

El pes d’una massa de $10{,}0$ kg és:

\[
P = m g_S = 10{,}0 \cdot 274 = 2740\ \mathrm{N}.
\]

Per tant:

\[
g_S = 274\ \mathrm{m/s^2}, \quad P = 2740\ \mathrm{N}.
\]