Velocitat de Sortida i Temps de Buidatge d’un Tanc Cilíndric amb Orifici Lateral

Un tanc cilíndric de \(1,80 \, \text{m}\) de diàmetre descansa sobre una plataforma d’una torre a \(6 \, \text{m}\) d’alçada, com es mostra a la figura. Inicialment, el tanc està ple d’aigua fins a una profunditat \(h_0 = 3 \, \text{m}\). D’un orifici que es troba al costat del tanc, a la part baixa del mateix, es treu un tap que tanca l’àrea de l’orifici, de \(6 \, \text{cm}^2\). 1. Amb quina velocitat flueix inicialment l’aigua per l’orifici? 2. Quant de temps necessita el tanc per buidar-se completament?

Dades inicials i conversions:

• Diàmetre del tanc: \( d = 1,80 \, \text{m} \), radi \( r = 0,90 \, \text{m} \)

• Alçada inicial de l’aigua: \( h_0 = 3 \, \text{m} \)

• Àrea de l’orifici: \( A_{\text{orifici}} = 6 \, \text{cm}^2 = 6 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \)

• Àrea del tanc: \( A_{\text{tanc}} = \pi r^2 = \pi (0,90)^2 \approx 2,544 \, \text{m}^2 \)

• Densitat de l’aigua: \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)

• Gravetat: \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \)- Pressió a l’orifici i a la superfície: \( p_0 = p_1 = p_{\text{atm}} \) (pressió atmosfèrica)

Velocitat inicial de sortida (\(v_1\)): L’orifici es troba a la part baixa del tanc, a \( h = 0 \), i la superfície de l’aigua està a \( h_0 = 3 \, \text{m} \). Com que l’àrea del tanc és molt més gran que la de l’orifici (\( A_{\text{tanc}} \gg A_{\text{orifici}} \)), la velocitat de descens del nivell de l’aigua (\( v_0 \)) és negligible inicialment (\( v_0 \approx 0 \)). Apliquem el Teorema de Bernoulli entre la superfície de l’aigua (punt 0) i l’orifici (punt 1):\[p_0 + \rho g h_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2 = p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2\]Com \( p_0 = p_1 = p_{\text{atm}} \), \( v_0 \approx 0 \), i \( h_1 = 0 \):\[\rho g h_0 = \frac{1}{2} \rho v_1^2\]\[v_1 = \sqrt{2 g h_0} = \sqrt{2 \times 9,8 \times 3} = \sqrt{58,8} \approx 7,67 \, \text{m/s}\]

La velocitat inicial de sortida és \( v_1 \approx 7,67 \, \text{m/s} \).

Temps per buidar el tanc completament: El nivell de l’aigua baixa amb el temps a mesura que el fluid surt per l’orifici. La velocitat de sortida \( v_1 \) depèn de l’alçada \( h(t) \) del nivell de l’aigua en cada instant:\[v_1 = \sqrt{2 g h}\]El cabal de sortida és:\[Q = A_{\text{orifici}} v_1 = A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g h}\]El descens del nivell de l’aigua al tanc ve donat per la conservació de la massa:\[A_{\text{tanc}} \frac{dh}{dt} = – A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g h}\]Reordenem i integrem:\[\frac{dh}{\sqrt{h}} = – \frac{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanc}}} \, dt\]Integrem des de \( h = h_0 = 3 \, \text{m} \) (inici) fins a \( h = 0 \) (tanc buit), i de \( t = 0 \) a \( t = T \):\[\int_{h_0}^{0} h^{-1/2} \, dh = – \frac{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanc}}} \int_{0}^{T} dt\]- Integral esquerra: \( \int_{h_0}^{0} h^{-1/2} \, dh = \left[ 2 h^{1/2} \right]_{h_0}^{0} = 0 – 2 \sqrt{h_0} = -2 \sqrt{3} \)- Integral dreta: \( – \frac{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanc}}} \int_{0}^{T} dt = – \frac{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanc}}} T \)Igualem:\[-2 \sqrt{h_0} = – \frac{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanc}}} T\]\[T = \frac{2 \sqrt{h_0} A_{\text{tanc}}}{A_{\text{orifici}} \sqrt{2 g}}\]Substituint els valors:\[\sqrt{h_0} = \sqrt{3} \approx 1,732, \quad \sqrt{2 g} = \sqrt{2 \times 9,8} = \sqrt{19,6} \approx 4,427\]\[T = \frac{2 \times 1,732 \times 2,544}{6 \times 10^{-4} \times 4,427} \approx \frac{2 \times 1,732 \times 2,544}{0,0026562} \approx 3317 \, \text{s}\]Convertim a minuts:\[T = \frac{3317}{60} \approx 55,3 \, \text{min}\]

Resposta: El temps per buidar el tanc és \( T \approx 55,3 \, \text{min} \).

Resposta final:

• La velocitat inicial de sortida és \( v_1 \approx 7,67 \, \text{m/s} \).
• El temps per buidar el tanc completament és \( T \approx 55,3 \, \text{min} \).