Càlcul de la Pressió en un Tub amb Fluid Incompresible i Alçada Variable

Un tub que condueix un fluid incompresible, la densitat del qual és \(1,30 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3\), és horitzontal a \(h_0 = 0 \, \text{m}\). Per evitar un obstacle, el tub es doblega cap amunt fins a assolir una alçada de \(h_1 = 1,00 \, \text{m}\). El tub té una àrea transversal constant. Si la pressió a la secció inferior és \(p_0 = 1,50 \, \text{atm}\), calcula la pressió \(p_1\) a la part superior.

Dades inicials i conversions:

• Densitat del fluid: \( \rho = 1,30 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)

• Alçada inicial: \( h_0 = 0 \, \text{m} \)

• Alçada final: \( h_1 = 1,00 \, \text{m} \)

• Pressió inicial: \( p_0 = 1,50 \, \text{atm} = 1,50 \times 101325 \, \text{Pa} = 151987,5 \, \text{Pa} \)

• Gravetat: \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \)

• Àrea transversal constant, per tant, \( v_0 = v_1 \) (per l’equació de continuïtat: \( A_0 v_0 = A_1 v_1 \)).

Equació de Bernoulli: Com que el tub té àrea transversal constant, la velocitat del fluid és la mateixa (\( v_0 = v_1 \)), i el terme de velocitat es cancel·la: \[ p_0 + \rho g h_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2 = p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 \] \[ p_0 + \rho g h_0 = p_1 + \rho g h_1 \] Reordenem per trobar \( p_1 \): \[ p_1 = p_0 + \rho g (h_0 – h_1) \] Substituint: \[ p_1 = 151987,5 + (1,30 \times 10^3) \times 9,8 \times (0 – 1,00) \] \[ p_1 = 151987,5 – (1,30 \times 10^3) \times 9,8 \times 1,00 \] \[ p_1 = 151987,5 – 12740 = 139247,5 \, \text{Pa} \]

\[ p_1 = \frac{139247,5}{101325} \approx 1,374 \, \text{atm} \]

Resposta final: La pressió a la part superior és \( p_1 \approx 1,374 \, \text{atm} \).