Càlcul de la Pressió en una Canonada Inclinada amb Diferents Diàmetres

Per una canonada inclinada circula aigua a raó de \(9 \, \text{m}^3/\text{min}\), com es mostra a la figura: En el punt \(a\), el diàmetre és de \(30 \, \text{cm}\) i la pressió és de \(1 \, \text{kg/cm}^2\). Quin és la pressió en el punt \(b\) sabent que el diàmetre és de \(15 \, \text{cm}\) i que el centre de la canonada es troba \(50 \, \text{cm}\) més avall que en el punt \(a\)?

Dades inicials i conversions:

• Cabal: \( Q = 9 \, \text{m}^3/\text{min} = \frac{9}{60} = 0,15 \, \text{m}^3/\text{s} \)

• Diàmetre en \(a\): \( d_a = 30 \, \text{cm} = 0,3 \, \text{m} \), radi \( r_a = 0,15 \, \text{m} \)

• Diàmetre en \(b\): \( d_b = 15 \, \text{cm} = 0,15 \, \text{m} \), radi \( r_b = 0,075 \, \text{m} \)

• Pressió en \(a\): \( p_a = 1 \, \text{kg/cm}^2 = 1 \times 10^4 \, \text{kg/m}^2 \times 9,8 \, \text{m/s}^2 = 9,8 \times 10^4 \, \text{Pa} \)

• Diferència d’alçada: \( h_a – h_b = 50 \, \text{cm} = 0,5 \, \text{m} \), amb \(h_b\) més avall que \(h_a\)

• Densitat de l’aigua: \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)

• Gravetat: \( g = 9,8 \, \text{m/s}^2 \)2.

Conservació de la massa (equació de continuïtat): \[ Q = A_a v_a = A_b v_b \implies \pi r_a^2 v_a = \pi r_b^2 v_b \] \[ v_b = v_a \left( \frac{r_a}{r_b} \right)^2 = v_a \left( \frac{0,15}{0,075} \right)^2 = v_a \times 4 \implies v_b = 4 v_a \] Àrea en \(a\): \( A_a = \pi r_a^2 = \pi (0,15)^2 = 0,0707 \, \text{m}^2 \) Velocitat en \(a\): \[ v_a = \frac{Q}{A_a} = \frac{0,15}{0,0707} \approx 2,12 \, \text{m/s} \] Velocitat en \(b\): \[ v_b = 4 v_a = 4 \times 2,12 \approx 8,48 \, \text{m/s} \]

Equació de Bernoulli: \[ p_a + \rho g h_a + \frac{1}{2} \rho v_a^2 = p_b + \rho g h_b + \frac{1}{2} \rho v_b^2 \] Reordenem per trobar \( p_b \): \[ p_b = p_a + \rho g (h_a – h_b) + \frac{1}{2} \rho (v_a^2 – v_b^2) \]

• Terme de pressió: \( p_a = 9,8 \times 10^4 \, \text{Pa} \)

• Terme d’alçada: \( \rho g (h_a – h_b) = 1000 \times 9,8 \times 0,5 = 4900 \, \text{Pa} \)

• Terme de velocitat: \( \frac{1}{2} \rho (v_a^2 – v_b^2) = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2,12^2 – 8,48^2) = 500 \times (4,4944 – 71,9104) = 500 \times (-67,416) = -33708 \, \text{Pa} \)

Substituint: \[ p_b = 9,8 \times 10^4 + 4900 – 33708 = 69192 \, \text{Pa} \] Convertim a \( \text{kg/cm}^2 \): \[ p_b = \frac{69192}{9,8 \times 10^4} \approx 0,706 \, \text{kg/cm}^2 \]

Resposta final: La pressió en el punt \(b\) és \( p_b \approx 0,706 \, \text{kg/cm}^2 \).