Velocitat angular i velocitat lineal

Una partícula descriu un moviment circular uniforme de radi 15 cm, de manera que el pla definit pel gir de la partícula coincideix amb el pla XY. En el temps inicial \( t_0 = 0 \), la partícula passa pel punt \( \vec{r}_0 = (15, 0) \) cm, i assoleix el punt \( \vec{r}_1 = (0, 15) \) cm passats 0,2 s.Quins són els vectors velocitat angular i velocitat lineal en aquests punts?

1. Càlcul de la velocitat angular \( \vec{\omega} \)La velocitat angular es defineix com la variació de l’angle \( \Delta \varphi \) respecte del temps \( \Delta t \):\[\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}\]Sabem que la partícula es mou en un cercle de radi 15 cm (0,15 m) i que en \( \Delta t = 0,2 \) s passa del punt \( \vec{r}_0 = (15, 0) \) cm al punt \( \vec{r}_1 = (0, 15) \) cm. Això correspon a un angle de 90º, ja que la partícula recorre un quart de circumferència (de la posició a l’eix X positiu a l’eix Y positiu). Convertim l’angle a radians:\[90^\circ = \frac{\pi}{2} \, \text{rad}\]Per tant:\[\Delta \varphi = \frac{\pi}{2} \, \text{rad}, \quad \Delta t = 0,2 \, \text{s}\]\[\omega = \frac{\frac{\pi}{2}}{0,2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{0,2} = \frac{\pi}{0,4} = \frac{5\pi}{2} \, \text{rad/s}\]La velocitat angular \( \vec{\omega} \) és un vector perpendicular al pla de gir (pla XY), per la qual cosa està orientada al llarg de l’eix Z. Com que el moviment és en sentit antihorari (de \( \vec{r}_0 \) a \( \vec{r}_1 \)), apliquem la regla de la mà dreta: els dits segueixen el sentit del gir (anti horari), i el polze apunta cap a la direcció positiva de l’eix Z. Així:\[\vec{\omega} = \left( 0, 0, \frac{5\pi}{2} \right) \, \text{rad/s}\]

2. Càlcul de la velocitat lineal als punts \( \vec{r}_0 \) i \( \vec{r}_1 \)La velocitat lineal \( \vec{v} \) en un moviment circular uniforme es calcula amb el producte vectorial:\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\]Primer convertim les posicions a metres per treballar en unitats del SI:\[\vec{r}_0 = (15, 0) \, \text{cm} = (0,15, 0) \, \text{m}, \quad \vec{r}_1 = (0, 15) \, \text{cm} = (0, 0,15) \, \text{m}\]- **Al punt \( \vec{r}_0 \):**\[\vec{v}_0 = \vec{\omega} \times \vec{r}_0 = \left( 0, 0, \frac{5\pi}{2} \right) \times (0,15, 0, 0)\]Fem el producte vectorial:\[\vec{\omega} \times \vec{r}_0 = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\0 & 0 & \frac{5\pi}{2} \\0,15 & 0 & 0\end{vmatrix} = \hat{i} \left( 0 \cdot 0 – \frac{5\pi}{2} \cdot 0 \right) – \hat{j} \left( 0 \cdot 0 – \frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) + \hat{k} \left( 0 \cdot 0 – 0 \cdot 0,15 \right)\]\[= 0 \hat{i} – \left( -\frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) \hat{j} + 0 \hat{k} = \left( \frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) \hat{j}\]Calculem el valor numèric:\[\frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 = \frac{5 \cdot 3,1416}{2} \cdot 0,15 \approx \frac{15,708}{2} \cdot 0,15 = 7,854 \cdot 0,15 \approx 1,18\]Per tant:\[\vec{v}_0 = -1,18 \hat{j} \, \text{m/s}\]Això té sentit, ja que en \( \vec{r}_0 = (0,15, 0) \) m, la velocitat lineal ha de ser perpendicular al radi i en sentit antihorari, per la qual cosa apunta en la direcció negativa de l’eix Y.

– **Al punt \( \vec{r}_1 \):**\[\vec{v}_1 = \vec{\omega} \times \vec{r}_1 = \left( 0, 0, \frac{5\pi}{2} \right) \times (0, 0,15, 0)\]\[\vec{\omega} \times \vec{r}_1 = \begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\0 & 0 & \frac{5\pi}{2} \\0 & 0,15 & 0\end{vmatrix} = \hat{i} \left( 0 \cdot 0 – \frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) – \hat{j} \left( 0 \cdot 0 – \frac{5\pi}{2} \cdot 0 \right) + \hat{k} \left( 0 \cdot 0,15 – 0 \cdot 0 \right)\]\[= -\left( \frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) \hat{i} – 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = -\left( \frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \right) \hat{i}\]Com abans:\[\frac{5\pi}{2} \cdot 0,15 \approx 1,18\]Per tant:\[\vec{v}_1 = -1,18 \hat{i} \, \text{m/s}\] Això també és coherent, ja que en \( \vec{r}_1 = (0, 0,15) \) m, la velocitat lineal ha de ser perpendicular al radi i en sentit antihorari, per la qual cosa apunta en la direcció negativa de l’eix X.

3. Resultats finals- Velocitat angular: \( \vec{\omega} = \left( 0, 0, \frac{5\pi}{2} \right) \, \text{rad/s} \approx (0, 0, 7,85) \, \text{rad/s} \)- Velocitat lineal al punt \( \vec{r}_0 \): \( \vec{v}_0 = -1,18 \hat{j} \, \text{m/s} \)- Velocitat lineal al punt \( \vec{r}_1 \): \( \vec{v}_1 = -1,18 \hat{i} \, \text{m/s} \)Com que és un moviment circular uniforme, el mòdul de la velocitat lineal és constant (\( v = \omega R \)), però la seva direcció varia uniformement amb el temps.