Càlcul del Radi d’una Esfera Sòlida Submergida en Aigua

Un objecte esfèric pesa $125$ g i, submergit en aigua, el seu pes aparent és de $90$ g. Calculeu el radi de l’esfera i determineu si aquesta és massissa, sabent que la densitat de l’objecte és de $8500$ kg/m$^3$.

Quan submergim l’objecte en aigua, experimenta una força d’empenta:\[E = (0,125 – 0,090) \cdot 9,8 \, \text{N}\]\[E = 0,014 \, \text{N}\]Aquesta força d’empenta correspon al pes del volum d’aigua desplaçat:\[E = \rho \cdot g \cdot V\]on \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) és la densitat de l’aigua. Aïllem el volum \( V \):\[V = \frac{E}{\rho \cdot g} = \frac{0,014}{1000 \cdot 9,8} = 1,43 \cdot 10^{-6} \, \text{m}^3\]El radi de l’esfera es calcula a partir del volum d’una esfera:\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]\[r = \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3} = \left( \frac{3 \cdot 1,43 \cdot 10^{-6}}{4 \pi} \right)^{1/3} = 0,02 \, \text{m}\]Per tant, el radi de l’esfera és \( r = 0,02 \, \text{m} \) (o 2 cm).Ara, per determinar si l’esfera és massissa, calculem el volum de l’objecte a partir de la seva massa i densitat:\[d = \frac{m}{V}\]\[8500 = \frac{0,125}{V}\]\[V = \frac{0,125}{8500} = 1,47 \cdot 10^{-5} \, \text{m}^3\]