Determinació de la Densitat de la Fusta i de l’Oli en un Bloc Flotant

Un bloc de fusta flota en aigua amb les 2/3 parts del seu volum submergides. En oli, en canvi, té el 90% del seu volum submergit. Calculeu la densitat de la fusta i de l’oli.

Sigui \( V \) el volum del bloc, \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) la densitat de l’aigua, \( \rho_m \) la densitat de la fusta i \( \rho_a \) la densitat de l’oli.Quan el bloc flota, està en equilibri perquè la força d’empenta del líquid és igual al pes del bloc.**En el cas de l’aigua, l’empenta és:**\[E = \frac{2}{3} V \rho g\]**En el cas de l’oli, l’empenta és:**\[E’ = 0,9 V \rho_a g\]El pes del bloc es calcula com:\[P = V \rho_m g\]A partir de la condició d’equilibri (la força d’empenta iguala el pes):- **En l’aigua:**\[E = P \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} V \rho g = V \rho_m g\]Simplifiquem \( V \) i \( g \):\[\frac{2}{3} \rho = \rho_m\]\[\rho_m = \frac{2}{3} \rho = \frac{2}{3} \cdot 1000 = 6,67 \cdot 10^2 \, \text{kg/m}^3\]Per tant, la densitat de la fusta és:\[\rho_m = 667 \, \text{kg/m}^3\]- **En l’oli:**\[E’ = P \quad \Rightarrow \quad 0,9 V \rho_a g = V \rho_m g\]Simplifiquem \( V \) i \( g \):\[0,9 \rho_a = \rho_m\]\[\rho_a = \frac{\rho_m}{0,9} = \frac{6,67 \cdot 10^2}{0,9} = 7,41 \cdot 10^2 \, \text{kg/m}^3\]Per tant, la densitat de l’oli és:\[\rho_a = 741 \, \text{kg/m}^3\]

Resum dels resultats- Densitat de la fusta: \( \rho_m = 667 \, \text{kg/m}^3 \)- Densitat de l’oli: \( \rho_a = 741 \, \text{kg/m}^3 \)